Quadratische Konvergenz

02.06.2015, 18:03

Faebs94

Quadratische Konvergenz

Meine Frage:
Hey,

wir haben als Aufgabe bekommen, dass wir zeigen sollen, dass die Folge

x_k+1 = 1 + (1/2)^2^k quadratisch gegen 1 konvergiert.

Mein Problem ist, dass diese Folge nach meiner Rechnung eben nicht quadratisch konvergiert.

Meine Ideen:
Also für die quadratische Konvergenz muss man ja folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} \frac{||x_{k+1} - 1 ||}{||x_{k} - 1||^2} < c \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} c < \infty \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt die Folgenglieder einsetze, kürzen sich die 1 und -1 ja weg und da alles positiv ist, erhalte ich mit der Norm:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{1}{2})^{2*(k+1)}}{(\frac{1}{2})^{2*k*2}} \end{eqnarray*}$

wenn ich das jetzt aber kürze, dann erhalte ich immer am Ende $\begin{eqnarray*} 4^{k-1} \end{eqnarray*}$ , was blöderweise nicht konvergiert für k gegen unendlich.....

Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?

02.06.2015, 18:14

Guppi12

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Hallo,

für Potenzen gilt die Konvention, dass man bei $\begin{eqnarray*} x^{(m^n)} \end{eqnarray*}$ die Klammer weglässt und $\begin{eqnarray*} x^{m^n} \end{eqnarray*}$ schreibt, welches nicht zu verwechseln ist mit $\begin{eqnarray*} (x^m)^n = x^{mn} \end{eqnarray*}$ , welches du scheinbar fälchlicherweise benutzt hast.

02.06.2015, 22:16

Faebs94

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ah, ok, das habe ich nicht bedacht, danke Augenzwinkern

Dann kürzt sich das ja alles zu 1 raus und passt damit?!

Weil es ist ja dann sowohl

(1/2)^2^k^2 = (1/2)^2^k * (1/2)^2^k = (1/2)^2^(k+1)

03.06.2015, 07:56

HAL 9000

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Also das geht gar nicht was du hier machst:

Zitat:

Original von Faebs94
(1/2)^2^k^2 = (1/2)^2^k * (1/2)^2^k = (1/2)^2^(k+1)

An manchen Stellen muss man sich Klammern hinzudenken, an anderen darf man das aber nicht, damit das ganze stimmt. $\begin{align*} \left( \frac{1}{2} \right)^{2^{k^2}} \end{align*}$ links ist jedenfalls grottenfalsch. unglücklich

Anscheinend meinst du hier

$\begin{align*} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{2^k} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^{2^k \cdot 2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2^{k+1}} \end{align*}$ .

Und ja, man könnte im Mittelteil auch dein $\begin{align*} \left( \frac{1}{2} \right)^{2^k} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2^k} \end{align*}$ hinschreiben, bringt einen aber beim Umformen nicht so richtig voran.

03.06.2015, 09:30

Faebs94

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Entschuldigung, da habe ich mich falsch ausgedrückt, aber ich meine das, was du auch geschrieben hast. Und nach Umformen steht ja dann sowohl oben als auch unten 0,5^2^k * 0,5^2^k und somit kürzt sich der ganze Bruch zu 1 raus, oder?

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