Kongruenzsatz SsW

02.06.2015, 20:23	Samyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Kongruenzsatz SsW Hallo, ich möchte gerne auf "analytischem" Wege den Kongruenzsatz SsW beweisen. Genauer seien zwei Dreiecke $\begin{eqnarray} \Delta(A,B,C), \Delta(A',B',C') \end{eqnarray}$ gegeben mit: 1) $\begin{eqnarray} \Vert A-B \Vert=Vert A'-B' \Vert \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \Vert C-B \Vert=Vert C'-B' \Vert \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \angle(ACB)=\angle(A'C'B') \end{eqnarray}$ 4) $\begin{eqnarray} \Vert A-B \Vert > Vert B-C \Vert \end{eqnarray}$ . Nun möchte ich gerne Zeigen, dass auch die anderen Winkel und die andere Seite übereinstimmen. Dabei ist der Winkel zwischen zwei Vektoren v,w definiert als die folgende Zahl: $\begin{eqnarray} \angle(v,w):=\frac{\langle v,w\rangle}{\Vert v \Vert \Vert w\Vert} \end{eqnarray}$ M.a.W. sind zwei Winkel gleich, wenn die Entsprechende Zahl oben gleich ist. Ich habe nun viel herumgespielt, aber leider fehlt mir die entscheidende Idee. Alles was ich zeigen konnte ist: $\begin{eqnarray} \Vert A-C \Vert=Vert A'-C' \Vert \Leftrightarrow \angle(B)=\angle(B') \end{eqnarray}$ . Somit muss man nur noch eine der beiden Sachen zeigen. Kann mir jemand weiterhelfen? Würde mich sehr freuen. ps: Alle Punkte seien in der euklidischen Ebene $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ und die Norm bzw. das Skalarprodukt sind Standard euklidisch.
03.06.2015, 07:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleich in beiden Dreiecken sind die Streckenlängen $\begin{align} c=\\|A-B\\|,a=\\|C-B\| \end{align}$ sowie der Winkel $\begin{align} \gamma = \|\angle ACB\| \end{align}$ . Laut Kosinussatz müssen somit sowohl die Strecke $\begin{align} b=\\|A-C\\| \end{align}$ als auch $\begin{align} b'=\\|A'-C'\\| \end{align}$ Lösung der Gleichung (bzgl. x) $\begin{align} c^2 = a^2 + x^2 - 2ax\cos\gamma \end{align}$ sein, das ergibt umgestellt eine quadratische Gleichung in Normalform $\begin{align} x^2 - 2ax\cos\gamma + a^2 - c^2 = 0\quad () \end{align}$ . Wegen des außerdem vorausgesetzten $\begin{align} c>a \end{align}$ ist $\begin{align} a^2-c^2<0 \end{align}$ , damit hat Gleichung () zwei reelle Lösungen, von denen gemäß Vieta eine positiv und die andere negativ sind. Da als Streckenlänge nur die positive Lösung in Frage kommt, folgt $\begin{align} b=b' \end{align}$ . P.S.: Das ist auch der Unterschied zum Fall $\begin{align} c<a \end{align}$ , also sSw: Dort kann es auch vorkommen, dass () zwei unterschiedliche positive Lösungen hat, womit keine zwingende Kongruenz von $\begin{align} ABC \end{align}$ und $\begin{align} A'B'C' \end{align*}$ mehr vorliegt.

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