Zusammenhang linearer, quadratischer und kubischer Funktionen

22.08.2004, 17:11

$$bling$bling$$

Zusammenhang linearer, quadratischer und kubischer Funktionen

holla ich wollte fragen ich sitze grad im zimmer und grüble über reinquadratische gleichungen unser lehrer hat der klasse verklickert das es 3 grade von gleichungen gibt
a)lineare gleichungen
b)quadratische gleichungen und
c)kuleische gleichungen (keine ahnung ob das so heist) :P
was ist dar zusammen hang der unterschied mein ich

dankbar bin ich für jede erklärung Gott

Edit: Sinnvollen Titel gewählt (Mazze)

22.08.2004, 17:22

therisen

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Lineare Funktionen sind direkt proportional. Quadratische Gleichungen sind die "nächsthöhere" Stufe (Parabel). Kubische Funktionen sind die "nächsthöhere" Stufe der quadratischen Funktionen. Während die Nullstellen linearer und quadratischer Funktionen relativ leicht zu berechnen sind, so ist der Rechenaufwand bei kubischen Funktionen deutlich größer und man braucht u.U. die komplexen Zahlen. Den Grad einer Funktion erkennst du am Exponenten, also z.B.:

$\begin{eqnarray*} f(x)=mx+t \end{eqnarray*}$ (allgemeine Form der linearen Funktion)
$\begin{eqnarray*} g(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ (allgemeine Form der quadratischen Funktion)
$\begin{eqnarray*} h(x)=ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$ (allgemeine Form der kubischen Funktion)

Die Funktion $\begin{eqnarray*} i(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray*}$ ist keine allgemeine Funktionen 4. Grades, sondern ein Spezialfall (gerade Exponenten), welche sich durch Substitution lösen lässt. Dies wird in den Schulbüchern oft falsch dargestellt.

Es gibt auch Funktionen n-ten Grades, also denke ja nicht, die 3 o.g. wären alle. Gleichungen ab dem 5. Grade lassen sich nicht mehr eindeutig lösen, das eindeutig bezieht sich aber auf das Verfahren zur Bestimmung der Lösungen.

Gruß, therisen

22.08.2004, 17:24

sommer87

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Hi,

Schau auch mal im Lexikon nach:

Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Kubische Gleichungen

(irgendwie funktioniert das nicht mit dem wiki-lexikon im board?!?)

Vll. reicht dir das ja schon, ansonsten frag einfach nochmal hier Augenzwinkern

22.08.2004, 17:25

Mazze

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Also erstmal, eine Gleucng dritten Grades heißt kubische Gleichung. Es wir im allgemeinen mehr als nur 3 Grade von Gleichungen geben. Etwa

$\begin{eqnarray*} ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f = 0 \end{eqnarray*}$

Wäre eine Gleichung 5 Grades. Normalerweise kann man an dem Grade einer Gleichung erkennen wieviele Lösungen es für eine jene gibt. Allerdings muss man da zwischen reellen Lösungen und komplexen Lösungen unterscheiden. Man kann aber sagen

ax + c= b besitzt höchstens eine Lösung.

ax² + bx + c = d besitzt höchstens 2 Lösungen

ax³ + bx² + cx +d = f besitzt höchstens 3 Lösungen.

Ich bin mir jetzt aber nicht 100 pro sicher ob es das ist was Du wolltest.

22.08.2004, 17:40

Mathespezialschüler

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Hi, zu den Unterschieden wurde ja schon was gesagt und auch zu den Lösungen. Zusammenhänge bestehen eigentlich nur darin, dass es alle Polynomfunktionen sind, d.h. es sind sozusagen Summen von Potenzfunktionen. Vielmehr Gemeinsamkeiten bzw. Zusammenhänge gibts aber eigentlich gar nicht. verwirrt

Vielleicht fällt den anderen ja noch was ein.

@Mazze

Zitat:

ax + c= b besitzt höchstens eine Lösung.

Warum "höchstens"!? Sie sitzt genau eine reelle Lösung. Augenzwinkern

@therisen

Zitat:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} i(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray*}$ ist keine allgemeine Funktionen 4. Grades, sondern ein Spezialfall (gerade Exponenten), welche sich durch Substitution lösen lässt. Dies wird in den Schulbüchern oft falsch dargestellt.

Wie wird es denn dort dargestellt?? verwirrt

22.08.2004, 17:47

therisen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@therisen

Zitat:

Wie wird es denn dort dargestellt?? verwirrt

Es wird dort so dargestellt, dass alle Gleichungen 4. Grades von der Form $\begin{eqnarray*} i(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray*}$ sind und somit lösbar.

Gruß, therisen

22.08.2004, 18:20

Mazze

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Zitat:

Warum "höchstens"!? Sie sitzt genau eine reelle Lösung.

Nein, ich wähle a,c = 0 und b != 0 es folgt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 0*x + 0 = b \| b \neq 0 \end{eqnarray*}$

Für diese Gleichung existiert keine Lösung. Wenn man aber vorraussetzt das a ungleich 0 sein soll gilt die Aussage.

22.08.2004, 19:13

Poff

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Zitat:

Original von therisen
...
Die Funktion $\begin{eqnarray*} i(x)=ax^4+bx^2+c \end{eqnarray*}$ ist keine allgemeine Funktionen 4. Grades, sondern ein Spezialfall (gerade Exponenten), welche sich durch Substitution lösen lässt. Dies wird in den Schulbüchern oft falsch dargestellt.
...

das glaub ich nicht, dass die als ALLGEMEINE Fkt. 4 Grades in den
Schulbüchern dargestellt wird, vielleicht so induziert vom Leser ...

eine 2. Grades ist es jedenfalls nicht

Augenzwinkern

22.08.2004, 19:26

therisen

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Du hast recht, explizit wird das nicht gesagt - aber der Endeffekt ist in der Regel der Gleiche. Da ich kein 9. Klassbuch mehr besitze, verweise ich nur auf folgende Website: http://www.cg.inf.ethz.ch/~bauer/Algebra/biquadratisch.html

Gruß, therisen

22.08.2004, 19:38

Mathespezialschüler

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Ich dachte bisher auch, dass man nur Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} ax^4+bx^2+c=0 \end{eqnarray*}$ als biquadratisch bezeichnet. In meinem 9.-Klasse-Buch steht auch:

Zitat:

Definition
Eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax^4+bx^2+c=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ heißt biquadratische Gleichung.

Übrigens: Wie ist der alte Name (wenns einen gibt) für Gleichungen 5.ten oder 7.ten Grades?
Und hat der auf der website da wirklich eine (neue) sehr viel einfachere Formel für biquadratische Gleichungen gefunden?? Und wo kann ich die schwerere (alte) und die einfache finden?

22.08.2004, 23:25

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich dachte bisher auch, dass man nur Gleichungen der Form $\begin{eqnarray*} ax^4+bx^2+c=0 \end{eqnarray*}$ als biquadratisch bezeichnet.

Das ist auch so. Nur sind das keine allgemeinen Polynome 4. Grades (aber das ist dir klar, oder?). Darum ging es hier.

Gruß vom Ben

Edit: Nachdem ich den Link noch gelesen habe, schränke ich das mal ein. Scheint Leute zu geben, die biquadratisch analog zu vom Grad 4 benutzen (quartisch sag ich auch nicht Augenzwinkern

). Ich gehöre nicht dazu. In seiner Argumentation weist der Autor allerdings einige Lücken auf.
Trotzdem stützt er nicht therisens These, denn er unterscheidet zwischen der allgemeinen Gleichung 4.Grades und dem Spezialfall ohne ungerde Exponenten (wie diese nun heißen spielt für die ursprüngliche Diskussion ja keine Rolle).

22.08.2004, 23:46

Mathespezialschüler

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Bei wikipedia wirds aber auch so gemacht wie bei therisens Link! verwirrt

23.08.2004, 00:17

Ben Sisko

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Vielleicht hat´s der gleiche Kerl geschrieben?? Augenzwinkern

Edit: Ich kann´s übrigens auch nicht belegen, dass es irgendwo so gemacht wird, wie ich gesagt hab, denn das war nur aus dem Gefühl/der Erinnerung heraus. So wichtig ist´s mir aber auch nicht...

Edit2: ...da es nur eine Deinitionsfrage der Begriffe ist, die eigentlich wenig sinnvoll sind (wir hatten im Board schon einige davon Augenzwinkern

23.08.2004, 01:08

Poff

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...

a

ax + b

ax^2 + bx + c

ax^3 + bx^2 + cx + d

da ist doch offensichtlich dass die allgemeine Fortsetzung

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

lautet

und

ax^4 + cx^2 + e

ein Spezialfall sein muss.

wie das dann näher bezeichnet wird bleibt recht belanglos.

Um Spielchen wie QUARTISCH oder was auch sonst immer,
würde ich keine Sekunde der Mühe verschwenden, .....
gibt ähnlich wenig her, wie etwa die Frage wie denn nun Zahlen
im Bereich 10^1017 bis 10^1018 genau in Worten zu benennen sind,
weil praktisch nicht benutzt und hoffentlich bleibts auch dabei.
(... würden sich gerne welche verewigen)

darfst nicht alles für ernste Münze nehmen was du bei Google ...

dort findest für jede Meinung etwas . Augenzwinkern

Zitat:

... Definition
Eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} ax^4+bx^2+c=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ heißt biquadratische Gleichung.
...

biquadratisch heißt ja nicht zwingend dass das 'allgemein biquadratisch'

x^2 heißt auch quadratisch .... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mazze...
ax + c= b besitzt höchstens eine Lösung.
...
...

hat 'Mazze' ABSICHTLICH so gemacht,
... wollte ja ein leicht sich zu merkendes System reinbringen

typisch Informatiker

.

23.08.2004, 14:56

MisterSeaman

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Zitat:

Nein, ich wähle a,c = 0 und b != 0 es folgt die Gleichung

Für diese Gleichung existiert keine Lösung. Wenn man aber vorraussetzt das a ungleich 0 sein soll gilt die Aussage.

Für a=b=c=0 gibt es sogar unendlich viele Lösungen! Augenzwinkern

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