Normale Matrizen

03.06.2015, 21:00	IchisIchisIch	Auf diesen Beitrag antworten »
Normale Matrizen Meine Frage: Die Aufgabe lautet folgender maßen: A ist eine Normale Matrix $\begin{eqnarray} \equiv \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| Ax \| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \|(A)x \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall x \in \mathbb C \end{eqnarray}$ (es sind für das (A)x und Ax in doppelstrichen die Norm zu verstehen). (Eine Matrix ist normal, wenn gilt (A)A = A(A)) Die " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " hab ich schon bewiesen. Ich habe aber keinen Ansatz für die " $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ ". Um Hilfe wäre ich Dankbar. Meine Ideen: Als Hinweis hab ich noch, dass das Skalarprodukt bereits eindeutig über die Norm bestimmt ist. Die Sterne hinter dem A haben wir eingeführt als Zeichen, dass etwas transponiert und komplex kunjugiert ist.
04.06.2015, 09:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für den Beweis benötigt man den Begriff "adjungierte Matrix". Laut Definition ist die zu einer Matrix M adjungierte Matrix $\begin{eqnarray} M^ \end{eqnarray}$ gerade diejenige Matrix, für die in jedem Skalarprodukt gilt $\begin{eqnarray} Mx\cdot y=x\cdot M^y \end{eqnarray}$ . Es ist klar, dass doppeltes "Adjungieren" wieder die ursprüngliche Matrix M ergibt, also $\begin{eqnarray} M^{}=M \end{eqnarray}$ . (Man kann leicht zeigen, dass die adjungierte Matrix gerade die konjugierte Tranponierte ist, also $\begin{eqnarray} M^=\bar M^T \end{eqnarray}$ . --------------------------- Nun zum Beweis: Aus $\begin{eqnarray} AA^=A^A \end{eqnarray}$ folgt für jeden Vektor x die Identität der Skalarprodukte $\begin{eqnarray} x\cdot AA^x=x\cdot A^Ax \end{eqnarray}$ Im Sinne der Definition der adjungierte Matrix "wälzen" wir die Matrizen A bzw. $\begin{eqnarray} A^* \end{eqnarray}$ vom zweiten Faktor des Skalarproduktes auf den ersten Faktor über. Das ergibt $\begin{eqnarray} \underbrace{A^x\cdot A^x}_{\text{Betragsquadrat}}=\underbrace{Ax\cdot Ax}_{\text{Betragsquadrat}} \end{eqnarray}$ Folglich sind die Beträge von $\begin{eqnarray} Ax \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A^x \end{eqnarray}$ identisch

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