Bestimmung einer Koordinatengleichung und Normalengleichung

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crash it Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage:
Die Punkte A,B und C legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung und eine Normalengleichung von E. Liegt der Punkt D (-7; 1; 3) in der Ebene?

a) A (1;1;1), B (1;0;1), C (0;1;1)

b) A (-1;2;0), B (-3;1;1), C (1;-1;-1)

Meine Ideen:
Den Rechenweg von Teil a) habe ich verstanden.

Man stellt zunächst (u) auf: a1x1 + a2x2 + a3x3 = b


Durch Einsetzen der Punkte A, B und C erhält man das LGS:

a1 + a2 + a3 = b (I)

a1 + a3 = b (II) ;mal (-1) => -aa - a3 = -b (II')

a2 + a3 = b (III)
_____________________

(II') + (I): a2 = 0 (IV)

(IV) in (III): a3 = b (V)

(IV) und (V) in (I): a1 = 0 (VI)

(IV), (V) und (VI) in (u):
=> x3 = 1

=> Normalenvektor n = (0;0;1)


Das Aufstellen der Normalengleichung und der Koordinatengleichung sowie das Einsetzen von D (-7;1;3) in die Normalengleichung sollte kein Problem sein.

Ich hänge bei Teil b). Ich bekomme den Normalenvektor nicht raus. Könnte jemand so nett sein, und Teil b) nach dem gleichen Schema wie a) durchrechnen und hier posten?
Wenn jemand die Lösung (des Normalenvektors) weiß, das wäre auch toll smile

Danke im Voraus!

EDIT(Helferlein): Zwei Beiträge zusammengefügt und Anfangsposting gelöscht, damit nicht der Eindruck entsteht, es wäre schon jemand am Helfen.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
(IV), (V) und (VI) in (u):
=> x3 = 1

=> Normalenvektor n = (0;0;1)


Dieser Schluss ist so nicht richtig, denn x3 hat nichts mit den Koordinaten eines Normalenvektors der Ebene zu tun (sondern a3).
Oder woher kommt deine Folgerung mit x3=1 ?
Viel mehr ist E: x3=1 schon die bzw eine Koordinatenform (nicht Normalenform) der Ebene.
Das kann man auch schon direkt daran sehen, dass die Punkte A,B und C alle als x3-Koordinate 1 haben.

Dein Weg kann übrigens auch recht kompliziert und aufwändig werden, sobald mal nicht so viele Nullen und Einsen im Spiel sind.
Deshalb wird man das in der Praxis wohl eher nicht so machen.
Poste doch mal selbst deinen Rechenweg zu b), dann kann man sehen, wo du Fehler gemacht hast ( so herum wäre es vielleicht direkt besser gewesen).
crash it Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Rechenweg zu b)

Man stellt zunächst (u) auf: a1x1 + a2x2 + a3x3


Durch Einsetzen der Punkte A, B und C erhält man das LGS:

-a1 + 2a2 = b (I)

-3a1 + a2 + a3 = b (II)

a1 - a2 - a3 = b (III)

_______________

(II) + (III): -2a1 = 2b => a1 = -b (IV)


(IV) in (I):
- (-b) + 2a2 = b
b+ 2a2 = b
2a2 = 0
a2 = 0 (V)

(V) und (IV) in (II):
3b + 0 + a3 = b
a3 = -2 b (VI)

(IV), (V) und (VI) in a1x1 + a2x2 + a3x3
=> -b x1 + 0 x2 - 2b x3 = b

Und jetzt?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dividiere die Gleichnung doch durch b (mit b ungleich 0).

Oder noch anders ausgedrückt:
Du hast a1,(a2) und a3 in Abhängigkeit von b ausgedrückt und kannst dir an der Stelle eigentlich einen Wert für aussuchen, denn dein LGS wird sowieso immer unendlich viele Lösungen haben (die Länge des Normalenvektors ist egal) und nur eine davon reicht aus.
crash it Auf diesen Beitrag antworten »

Also?:

-b x1 + 0 x2 - 2b x3 = b | : b (Fall b ungleich 0)

-x1 - 2x3 = 1

=> x1 = 1 und x3 = -1 möglich

=>\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}

Stimmt das?
crash it Auf diesen Beitrag antworten »

Also

???
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Normalenvektor ist falsch.
Es gilt

Ist dir eigentlich klar, warum der Fall b=0 hier ausgeschlossen wird ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Idee nur so am Rande:

(b)
Das Kreuzprodukt (beispielsweise) der beiden Vektoren AB und BC ergibt einen Normalvektor (1; 0; 2) direkt.

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Noch eine ( numerische ) Idee:

Wenn du einen TR hast, mit dem man ein LGS lösen kann, dann tippst du die Punkte zeilenweise ein. Für b kannst du einen beliebigen Wert vorgeben z.B. b=6






Natürlich kannst du jetzt nach Gusto noch multiplizieren, z.B. mit 1/6



Vorteil: kaum fehleranfällig, man braucht nichts zu rechnen und tippt nur ein.
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