Kanonischer Isomorphismus zwischen dem Dualraum der dir Summe und dem dir Produkt der Dualräume?

06.06.2015, 12:22

DerPhysikus

Kanonischer Isomorphismus zwischen dem Dualraum der dir Summe und dem dir Produkt der Dualräume?

Meine Frage:
Guten Morgen smile

ich sitze gerade an einem Übungsblatt in Linearer Algebra II und habe wenig Ahnung, wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen soll:

"Sei K Körper und Vi eine Familie von K-Vektorräumen. Zeige: es existiert ein kanonischer Isomorphismus von K-Vektorräumen
psi: (direkte Summe der Vi)* --> (direktes Produkt der Vi*)

Hierbei meint V* den Dualraum eines Vektorraums V.

Mein Problem ist, dass ich nicht so genau weiß, was ich genau zeigen soll. Ich würde gerne Ansätze (nicht Lösungen) sehen, bzw. "Verständnisfragen" klären, sodass ich die finale Lösung auch alleine schaffe.

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ein kanonischer Isomorphismus per Definition eine natürliche, bijektive, lineare Abbildung ist, also muss ich wohl irgendwie zeigen, dass ich eine Bijektion zwischen diesen (recht verwirrenden) Vektorräumen hinschreiben kann. Der Dualraum ist die Menge der linearen Abbildungen von einem Vektorraum in den Körper, also muss ich für diesen Isomorphismus von der Menge der linearen Abbildungen von der direkten Summe der Vi's nach K in das direkte Produkt der Mengen der linearen Abbildungen von den Vi's in nach K gehen. Also muss ich auf kanonische Art jeder linearen Abbildung von der direkten Summe der Vi's nach K ein direktes Produkt von Abbildungen der Vi's nach K zuordnen. Aber wie ich das machen soll, weiß ich nicht so recht.

(bei der Bezeichnung Vi's steht das i als Index, ich fand jedoch keine Möglichkeit, das hier so zu schreiben)

09.06.2015, 14:25

Der Mathematikus

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09.06.2015, 15:54

Captain Kirk

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Hallo,

Indezes schreibt man hier so: $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Dualraum ist die Menge der linearen Abbildungen von einem Vektorraum in den Körper,

Keine Menge, sondern der Vektorraum.

Zitat:

direkte Produkt der Mengen

Von einem direkten Produkt von Mengen hab ich noch nie was gehört. Was soll das sein?
Oder soll das ein direktes Produkt von Vektorräumen sein.

Also gesucht ist ein Isomorphismus:
$\begin{eqnarray*} \psi : \left( \bigoplus_{i \in I}V_i \right)^*\to \prod_{i \in I} V_i^* \end{eqnarray*}$
Was ist denn überhaupt die direkte Summe und das Produkt von Vektorräumen?
Das ist hier der Knackpunkt, denn dann sollte der Kandidat für den Isomorphismus offensichtlich sein.
Um das nachzuweisen ist es hier sinnvoll eine Umkehrabbildung anzugeben.

10.06.2015, 15:27

DerPhysikus

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Okay, erstmal danke. Wenn ich ab und zu versehentlich "Menge" statt "Vektorraum" schreibe, bitte ich dies zu verzeihen smile

Ich habe mich jetzt nochmal hingesetzt und alle Definitionen zusammengefasst:

Auf der linken Seite steht ein Vektorraum mit linearen Abbildungen von {( $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ )i aus I| $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ =0 für fast alle i} nach K (ich hoffe ich hab das jetzt verstanden Augenzwinkern

)

Auf der rechten Seite steht das direkte Produkt, das für eine unendliche Menge I gleich dem kartesischen Produkt ist, der ( $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ *), also Tupel von linearen Abbildungen $\begin{eqnarray*} \phi_i \end{eqnarray*}$ von den $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ nach K, d.h. {( $\begin{eqnarray*} \phi_i \end{eqnarray*}$ )i aus I| $\begin{eqnarray*} \phi_i \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ *}

Ist das soweit richtig?

Wenn ja, dann muss ich jetzt in natürlicher und bijektiver Weise jeder linearen Abbildung links ein Tupel von linearen Abbildungen rechts zuordnen. Leider ist mir der Kandidat für einen solchen Isomorphismus nicht so offensichtlich wie dir :S (ich gehe mal davon aus, dass man sich das nicht veranschaulichen kann, oder?)

10.06.2015, 15:49

Captain Kirk

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Zitat:

Wenn ich ab und zu versehentlich "Menge" statt "Vektorraum" schreibe, bitte ich dies zu verzeihen smile

Hier liegt wohl ein Mißverständnis vor.
Ich schreibe sowas nicht aus Pedanterie oder ähnlichem.
Ich weise daraufhin weil sich dahinter vermutlich (die Reaktion das als Versehen abzutun bestätigt mich) ein Fehlverständnis verbirgt auf das ich dich hinweisen möchte.

Vektorräume sind keine Mengen.

Auch taucht auch im letzten Post wieder auf:

Zitat:

direkte Produkt, das für eine unendliche Menge I gleich dem kartesischen Produkt ist

Es gibt nur ein kartesisches Produkt von Mengen, keines von Vektorräumen.
Sonst sind die Definitionen richtig wiedergegeben.

Zitat:

(ich gehe mal davon aus, dass man sich das nicht veranschaulichen kann, oder?)

Natürlich kann man sich das veranschaulichen, wie das Meiste. Nimm z.B. i=2, V=K

10.06.2015, 16:08

DerPhysikus

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Oh, bei I dachte ich tatsächlich, dass es eine Menge wäre... :/

10.06.2015, 16:12

Captain Kirk

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I ist auch eine Menge, nur was hat das mit meinem letzten Post zu tun?

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