Menge RZ betrachten

06.06.2015, 16:28

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Menge RZ betrachten

Meine Frage:
Ich soll folgende Aufgabe lösen nd bin mir einfach mega unsicher!

"Ist die Menge R \ Z offen? Begründen oder widerlegen Sie!"

Meine Ideen:
Ich denke sie ist nicht offen jedoch ist das nur einGefühl und ich weiß nicht wie ich dies begründen soll bzw. wie ich die Aussage "sie ist offen" wiederlegen soll!

Ich hoffe mir ann geholfen werden!

06.06.2015, 16:31

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen

im Matheboard!

Zitat:

Original von vinni59
Ich denke sie ist nicht offen

Da denkst du falsch.
Was ist denn eine offene Menge?

07.06.2015, 10:56

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge ist offen wenn alle Punkte die sie enthält innere Punkte sind!

OK wenn ich das grade so schreibe klingt das logisch das die Menge R\Z offen ist Big Laugh

Big Laugh

...

Und wie könnte ich das begründen? Nur dieser Satz ist glaube ich etwas wenig Big Laugh

Big Laugh

07.06.2015, 11:17

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist das noch zu wenig, bis jetzt steht da nur die Definition.
Du musst also noch begründen, warum jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt ist.

07.06.2015, 11:32

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil R ja alle rationalen Zahlen enthält also im Prinzip von +Unendlich bis -Unendlich geht und somit keine Randpunkte hat!? ...kann man das so begründen?
Fällt mir echt schwer! Hammer

Hammer

07.06.2015, 11:38

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, so geht das nicht.

Dann hilft wohl nur die Definition: Was sind innere Punkte?

Anzeige

07.06.2015, 14:31

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Also eher so dass ein Punkt ein innerer Punkt ist wenn eine Epsilon-Kugel existiert die vollständig in der Menge liegt und da ja alle reellen Zahlen außer den ganzen Zahlen enthält gibt es um jeden Punkt der Menge eine Epsilon-Kugel dessen Epsilon > 0 ist und eine reelle nicht ganze Zahl ist. Kann man das so sagen?

07.06.2015, 14:35

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Bzw. Für Epsilon muss gelten: 0<Epsilon<1 oder!?

07.06.2015, 14:38

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Aussage kann ich nicht nachvollziehen, was soll jetzt eine reelle nicht ganze Zahl sein? Das Epsilon? Und warum existiert das? Du gibst immer irgendwelche Sachen vor, begründest aber nicht die Existenz (und das ist hier gerade die Sache, die gemacht werden soll).

Also: Für $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ ein innerer Punkt von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , wenn ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} K_{\varepsilon}(x)\subset M \end{eqnarray*}$ . Das ist die Definition eines inneren Punktes. Sei nun $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Du musst jetzt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} K_{\varepsilon}(x)\in\mathbb R\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist.

Tipp: zeichne dir einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Zahlenstrahl ein und such dir konkret eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ aus (z.B. $\begin{eqnarray*} x=\frac 13 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ oder...). Wie groß kannst du jeweils die Umgebung $\begin{eqnarray*} K_r(x) \end{eqnarray*}$ wählen? Lässt sich das verallgemeinern?

07.06.2015, 14:48

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war eigentlich das was ich oben schon versucht hatte zu schreiben...aber egal...

Habe nochmal über den Bereich in dem das Epsilon liegen muss nachgedacht... Muss er wie folgt lauten?
0<Epsilon< |1-x|

07.06.2015, 14:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Epsilon soll denn nun gewählt werden? In dem angegebenen Intervall gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Und die wichtigere Frage: warum soll dieses Epsilon geeignet sein?

07.06.2015, 15:02

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendeine in dem Intervall ist ja egal weil egal welches man in dem Intervall wählt das K(x) immer vollständig in M liegt und das ist ja das wichtigste man darf es nur nicht größer oder gleich |1-x| wählen weil sonst K(x) auch eine ganze Zahl enthalten würde, dies jedoch nicht zu M gehört und somit auch K(x) nicht vollständig in M liegen würde und das muss es ja!

07.06.2015, 15:14

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann probier das doch einmal mit den von mir vorgeschlagenen Werten für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus...kannst du bei $\begin{eqnarray*} x=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ wirklich jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |1-(-\frac 32)|=2{,}5 \end{eqnarray*}$ wählen?

Ich würde dir auch meinen Tipp noch einmal ans Herz legen, da könnte sich eine mögliche Lösungsidee hinter verstecken...

07.06.2015, 16:03

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Epsilon muss für
-3/2 zwischen 0 und 1/2
1/3 zwischen 0 und 1/3
Wurzel(2) zwischen 0 und Wurzel(2)-1
liegen ...
Ich bekomme das aber nicht verallgemeinert... unglücklich

unglücklich

07.06.2015, 16:16

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann versuch einmal systematisch zu beschreiben, wie du an diese Werte jetzt gekommen bist. Wie kommst du bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ gerade an $\begin{eqnarray*} 0<\varepsilon < 0{,}4142\dots \end{eqnarray*}$ ? Da steckt vermutlich eine korrekte Argumentation hinter, auf der man aufbauen kann.

07.06.2015, 16:24

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil Wurzel(2) ist ja in etwa 1,41...also liegt es von der ganzen Zahl 2 etwa 0,59... entfernt und von der 1 etwa 0,41... und dann habe ich geguckt welche von beiden Zahlen (0,59 und 0,41) kleiner ist damit der Bereich keine ganze Zahl enthält (bei 0,59 wäre die 1 in dem Bereich enthalten!)

07.06.2015, 16:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du eigentlich alles was du brauchst.

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Welche ganzen Zahlen sind jetzt interessant bzw auf welche ganzen Zahlen musst du aufpassen? Und wie kannst du sicher stellen, dass keine dieser ganzen Zahlen Probleme macht?

07.06.2015, 16:32

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Alle oder nicht weil wenn ich z.B x=15/4 muss ich ja auf die 3 und die 4 gucken und bei 76/5 auf die 15 und 16
...
Bzw. Ich muss immer auf die achten, die näher an meinem x liegt...

07.06.2015, 16:37

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwann wird mal jede ganze Zahl wichtig werden, ja, aber nicht gleichzeitig. Bei $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ hast du dich ja auch nur auf zwei Zahlen konzentriert. Also:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Dann existiert $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z<x<z+1 \end{eqnarray*}$ ...

07.06.2015, 16:55

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja...und das Epsilon muss zwischen 0 und |z-x| bzw. |(z+1)-x| liegen aber wie schreibenich das auf, dass man je nachdem was näher an x liegt z oder (z+1) nehmen muss?

07.06.2015, 17:00

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm das Minimum der beiden Zahlen. smile

smile

07.06.2015, 17:02

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder schreibe ich das als Fallunterscheidung wenn |z-x|<|(z+1)-x| dann liegt Epsilon zwischen 0 und |z-x| und wenn |(z+1)|<|z-x| dann liegt Epsilon zwischen 0 und |(z+1)-x|
?

07.06.2015, 17:25

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Prinzipiell wäre eine Fallunterscheidung möglich, aber warum die Arbeit machen? Mit dem Minimum bist du doch schon fertig.

07.06.2015, 17:27

vinni59

Auf diesen Beitrag antworten »

Ookay

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »