Beweis maximale und minimale Eigenwerte

07.06.2015, 15:04

bunti17

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Beweis maximale und minimale Eigenwerte

Meine Frage:
Also hier sollen wir beweisen, dass diese Formeln für die maximalen bzw. minimalen Eigenwerte gelten. Ich bin noch nicht ganz vertraut mit dem Thema und frage mich auch, ob es für jede symmetrische bzw. hermitesche Matrix Eigenwerte gibt?

Meine Ideen:
Mein Ansatz für diese Aufgabe wäre zunächst dies umzuformen.
$\begin{eqnarray*} \lambda_{max}= \max_{x\in K^{n} \ \left\{ 0\right\} } \frac{x^{H} \cdot Ax}{x^{H}x } \end{eqnarray*}$ ist wenn man x^H*x auf die andere Seite bringt und x^H wegkürzt äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \lambda_{max}\cdot x= \max_{x\in K^{n} \ \left\{ 0\right\}} Ax \end{eqnarray*}$ ... ist das richtig oder wo liegt der Fehler bzw. ist das überhaupt ein richtiger Ansatz und wie macht man weiter?

07.06.2015, 18:45

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

ob es für jede symmetrische bzw. hermitesche Matrix Eigenwerte gibt?

Ja, sie sind sogar orthogonal diagonalisierbar.
Das ist sehr nützlich.
Schau auch mal was passiert wenn man für x einen Eigenvektor einsetzt.

Zitat:

und x^H wegkürzt

Wie und mit was willst du denn kürzen?

07.06.2015, 21:36

bunti17

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Hmm okay, wenn ich einen Eigenvektor einsetze, dann würde ich auf sowas kommen:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{max}= \max_{x\in K^{n} \ \left\{ 0\right\}} \frac{x^{H} Ax}{x^{H} x} = \max_{x\in K^{n} \ \left\{ 0\right\}} \frac{x^{H}\cdot \lambda x }{x^{H} x} \end{eqnarray*}$
und dann könnte ich doch vielleicht auf der rechten Seite beim Bruch (x^H)x kürzen und darauf kommen...: $\begin{eqnarray*} \lambda_{max}= \max_{x\in K^{n} \ \left\{ 0\right\}} \lambda \end{eqnarray*}$ Nur dass dann auf der rechten Seite etwas von x abhängiges steht, aber kein x und auf der linken das maximale Lambda...

07.06.2015, 21:43

Captain Kirk

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Zitat:

Nur dass dann auf der rechten Seite etwas von x abhängiges steht,

Tut es nicht.

Was du da treibst ist ziemlicher Unfug.
Wie kann denn z.B. das max noch dastehen obwohl du einsetzt.

Mein erster Hinweis, liefert dir $\begin{eqnarray*} \leq \text{ bzw. } \geq \end{eqnarray*}$ der Einsetzhinweis die jeweils andere ungleichung

07.06.2015, 22:55

bunti17

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Also ich verstehe dass da eine Abschätzung stattfindet, aber nicht wie man dann letztendlich darauf kommt, dass lambda max= max ((x^H) * Ax)/(x^H * x) ist.

Also dann vielleicht so..?:
Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ EW von A und x EV.
--> $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot x = A \cdot x \end{eqnarray*}$
--> $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{A\cdot x}{x} \end{eqnarray*}$
<==> $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{x^{H} \cdot Ax}{x^{H} \cdot x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq \max_{x\in K^{n} } \frac{x^{H} \cdot Ax}{x^{H} \cdot x} \end{eqnarray*}$

07.06.2015, 22:59

Captain Kirk

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Zitat:

--> $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{A\cdot x}{x} \end{eqnarray*}$

Was ist denn 1/x für einen Vektor?

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07.06.2015, 23:16

bunti17

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Gibt es nicht..... weil es für einen Vektor ja keine Transponierte gibt, richtig? :/

07.06.2015, 23:21

Captain Kirk

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Inverse, nicht Transponierte, die existiert.

08.06.2015, 00:45

bunti17

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Ja, Inverse meinte ich....Kannst du mir nochmal einen Ansatz geben? ich verstehe nicht genau wann ich die Abschätzung machen muss und von wo ich ausgehe.. weil die geg Gleichung ist ja zu beweisen. Dann muss ich doch mit einer bekannten Gleichung anfangen oder?

08.06.2015, 09:40

Captain Kirk

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Zitat:

Dann muss ich doch mit einer bekannten Gleichung anfangen oder?

Ähm, nein.

Zeige:

- $\begin{eqnarray*} x \leq max_x \frac{x^H A x}{x^Hx} \end{eqnarray*}$ mittels orthogonale Diagonalisierung.
Analog für's Minimum
- für einen Eigenvektor x zum Eigenwert k gilt: $\begin{eqnarray*} k= \frac{x^HAx}{x^Hx} \end{eqnarray*}$ .
Das zeigt die Gleichheit in den zuerst bewiesenen Ungleichungen.

08.06.2015, 15:24

bunti17

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Ich weiß aber leider nicht wie ich da die Orthogonale Diagonalisierbarkeit anwenden kann.. was ich über orthogonale Matrizen weiß ist, dass die Matrix multipliziert mit der Inversen die Identität ist. Und über orthogonale Diagonalisierbarkeit, dass für eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ existiert, mit $\begin{eqnarray*} S^{T} \cdot A \cdot S = D \end{eqnarray*}$ wobei D eine Diagonalmatrix ist, mit den Eigenvektoren, die alle orthogonal zueinander sind....

08.06.2015, 19:04

Captain Kirk

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Es ist

Zitat:

mit $\begin{eqnarray*} S^{H} \cdot A \cdot S = D \end{eqnarray*}$

nicht transponiert.
Vielmehr braucht's hier auch nicht. (Es wär noch sinnvoll die Rollen von A und D zu tauschen).
Einsetzen und damit arbeiten.

08.06.2015, 23:50

bunti17

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okay, also nach Umformung und weil alle Matrizen invertierbar sind komme ich auf $\begin{eqnarray*} S^{-H} \cdot D \cdot S^{-1} = A \end{eqnarray*}$ und das eingesetzt wäre dann $\begin{eqnarray*} x\leq max_{x} \frac{x^{H}\cdot S^{-H} \cdot D \cdot S^{-1}\cdot x }{x^{H} \cdot x} \end{eqnarray*}$ wobei ich nicht verstehe was mir das bei der Abschätzung für Vorteile bringt... was mir halt auffällt, ist dass im im Nenner und auch im Zähler einmal der Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit dem hermitesch konjugierten, im Nenner ebenso und zusätzlich noch die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit ihrer hermitesch konjugierten Matrix steht, nachdem man die Inversen in den Nenner getan hat $\begin{eqnarray*} \frac{x^{H} \cdot D \cdot x }{x^{H} \cdot x \cdot S^{H} \cdot S} \end{eqnarray*}$

09.06.2015, 00:07

Captain Kirk

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Zitat:

im Nenner ebenso und zusätzlich noch die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mit ihrer hermitesch konjugierten Matrix steht, nachdem man die Inversen in den Nenner getan hat $\begin{eqnarray*} \frac{x^{H} \cdot D \cdot x }{x^{H} \cdot x \cdot S^{H} \cdot S} \end{eqnarray*}$

geschockt

verwirrt

geschockt

Was bitte rechnest du da?
Matrizen sind keine Zahlen, Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ. Oder was auch immer du dir dabei gesacht hast.

Es ist: $\begin{eqnarray*} x^HAx=(x^HS^H)D(Sx)=y^HDy=\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_{max} \sum_{i=1}^n y_i^2= \lambda_{max} y^Hy \end{eqnarray*}$ .
Das zeigt die Ungleichung.

09.06.2015, 21:08

bunti17

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Und damit ist bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} x^{H} Ax \leq \lambda_{max} y^{H}y \end{eqnarray*}$ ..... (-diesmal kann ich hier doch nach lamda umformen, weil $\begin{eqnarray*} y^{H}y \end{eqnarray*}$ ja eine '1x1' Matrix ist, also eine Zahl..?) .....aber noch nicht bewiesen, dass [latex] x\leq max_{x} \frac{x^{H} Ax}{x^{H}x} [/latex} oder? Oder soll ich das dann jetzt mit dieser Ungleichung zeigen können? .

09.06.2015, 21:10

bunti17

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Da sollte stehen: $\begin{eqnarray*} x\leq max_{x} \frac{x^{H} Ax}{x^{H}x} \end{eqnarray*}$

09.06.2015, 21:17

Captain Kirk

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Zitat:

Original von bunti17
Da sollte stehen: $\begin{eqnarray*} x\leq max_{x} \frac{x^{H} Ax}{x^{H}x} \end{eqnarray*}$

Sorry, ich weiß mit dir nicht mehr wirklich weiter.
Das da oben ist ein gutes Beispiel. Es ist ein eigentlich offensichtlicher Tippfehler von mir gewesen, den du seit mehreren Posts mitschleifst.
Und ich hab dir im letzten Post fast den ganzen Beweis der $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -Ungleichung geschrieben, es fehlt nur noch ein kleiner Schritt.
Und von dir kam bis jetzt nichts auch nur annähernd sinnvolles.

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