Komplexe Zahlen - Umformungen

08.06.2015, 20:56

JuhuMathe_

Komplexe Zahlen - Umformungen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich bin grade am Üben und komme beim Thema komplexe Zahlen etwas ins Stocken.
Das Prizip dahinter verstehe ich soweit mit Realteil und Imaginärteil, nur hakt es bei mir mal wieder am Anfang beim Umformen.
Muss dazu sagen, dass ich der absolute Noob bin, was Mathe angeht. Ich schnapp mir die Punkte bei Aufgaben die man Schritt für Schritt abarbeiten kann und nicht bei Umformungen oder komplexeren Matheaufgaben und komme damit grad so durch.
Ich weiß, dass es ein Workshop hier gibt, nur wird das Thema Umformungen mit i nicht wirklich behandelt.
Eine Aufgabe ist zb.
$\begin{eqnarray*} z = \frac{(5i + 10i^2)}{(2-i)(1+i)}i^3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
z könnte man ja direkt ausrechnen, indem man nach dem Schema i,-1,-i,1 versucht die i's aufzulösen und dann das ganze rein in den Taschenrechner und zack fertig.
Jedoch bekomme ich ja dann für die Formel z = a + bi das a und das b nicht raus.
Ich weiß echt nicht wie sich das i verhält beim umformen, zb was passiert bei:
z = (1-7i)^2 ? Bei der binomischen Formel wird das b^2 dann so aussehen: 49i? oder 49i^2?
1^2 - 2*1*7i + 49i = 1+35i?
Ich weiß, es ist vermutlich Grundlegendes Mathe, aber ich hasse Mathe einfach xD
Zurück zur ursprünglichen Aufgabe.
Ich dachte an ausmultiplizieren des Nenners und dann irgendwie versuchen das ganze nach oben zu bekommen Big Laugh

Da ich nun meinen Vorschlag gebracht hab, hoffe ich das jemand mir sagen kann wie es richtig geht xD

09.06.2015, 00:43

python_15

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RE: Komplexe Zahlen - Umformungen
Hallo!

Zitat:

Original von JuhuMathe_
z = (1-7i)^2 ? Bei der binomischen Formel wird das b^2 dann so aussehen: 49i? oder 49i^2?
1^2 - 2*1*7i + 49i = 1+35i?

Wende die binomische Formel an und ersetze $\begin{align*} i^2: \end{align*}$
$\begin{align*} (1-7i)^2=1-14i+(7i)^2=1-14i+49i^2=1-14i-49 = -48-14i \end{align*}$

Zitat:

Ich dachte an ausmultiplizieren des Nenners und dann irgendwie versuchen das ganze nach oben zu bekommen Big Laugh

Ist jetzt nicht die schlechteste Idee, allerdings würde ich zuerst auf jeden Fall $\begin{align*} i^2 \end{align*}$ in der Angabe ersetzen. Und dann solltest dir natürlich überlegen, wie du "das ganze nach oben bekommst" smile

09.06.2015, 14:37

JuhuMathe_

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Danke schonmal.

Dachte mir Folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{(5i-10)}{(2+2i-i-i^2)}*-i = \frac{(5i-10)}{(3+i)}*-i<br /> \end{eqnarray*}$

dann wird es tricky. Wie bekommt man den Nenner nach oben? Welches ist der richtige Zauberspruch? xD

$\begin{eqnarray*} (5i-10)*(3+i)^{-1}*-i \end{eqnarray*}$
Und dann wieder ausmultiplizieren? Dann kommt aber zb sowas wie $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3}i \end{eqnarray*}$ raus. Glaube das ist nicht Sinn der Sache xD

09.06.2015, 14:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von JuhuMathe_
$\begin{eqnarray*} (5i-10)*(3+i)^{-1}*-i \end{eqnarray*}$
Und dann wieder ausmultiplizieren?

Ich weiß ja jetzt nicht, was du da gerechnet hast und welche neuen Formeln du dafür erfunden hast. verwirrt

Wie dem auch sei. Wenn man den Nenner von einem komplexen Bruch reell haben möchte, erweitert man üblicherweise den Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners. Augenzwinkern

09.06.2015, 15:12

MatheJuhu_

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...ja. Hab google benutzt und da hieß es 1/x = 1*x^-1. Aber egal jetzt.

Dann kommt sowas raus?

$\begin{eqnarray*} (5i-10)(3-i)*-i \end{eqnarray*}$

Möchte so ein Aufgabentyp nur mal gelöst sehen, um es mir als Beispielaufgabe zu merken und ähnlich in der Klausur machen zu können.

09.06.2015, 15:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von MatheJuhu_
...ja. Hab google benutzt und da hieß es 1/x = 1*x^-1. Aber egal jetzt.

Das ist richtig. Aber was hilft dir das für die Lösung deiner Aufgabe? verwirrt

Zitat:

Original von MatheJuhu_
Dann kommt sowas raus?

$\begin{eqnarray*} (5i-10)(3-i)*-i \end{eqnarray*}$

Das ist der Zähler. Aber du solltest auch einen Bruch mit einem Nenner haben. smile

09.06.2015, 18:49

python_15

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Wie klarsoweit schon richtig gesagt hat, erweitere Zähler und Nenner mit der konjugiert-komplexen Zahl des Nenners und multipliziere dann aus. smile

09.06.2015, 19:29

JuhuMathe_

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...jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof xD

Ich dachte das hätte ich soeben gemacht Big Laugh

Will den Nenner nach oben bekommen, also hab ich den konjugiert.
So wie ihr das grade beschreib klingt das für mich so:
Zähler
$\begin{eqnarray*} \frac{(5i-10)}{(3+i)} * \frac{(3-i)}{(3-i)} *-i \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{-5i^{2}+15i+10i-30}{i^{2}-3i+3i+9}*-i \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{25i-25}{8}*-i \end{eqnarray*}$

Nur mal angenommen, ich hätte richtig gerechnet, was vermutlich nicht der Fall ist, dann hab ich immer noch nen Problem mit der 8 und dem -i.
Soll dann $\begin{eqnarray*} 3,125i-3,125*-1 \end{eqnarray*}$ daraus werden?
Dann bin ich ja schon wieder so weit von der Grundform z = a + bi entfernt -.-

Wie nah war ich dran? Hammer

09.06.2015, 19:50

python_15

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Zitat:

Original von JuhuMathe_

$\begin{eqnarray*} \frac{(5i-10)}{(3+i)} * \frac{(3-i)}{(3-i)} *-i \end{eqnarray*}$ =

$\begin{eqnarray*} \frac{-5i^{2}+15i+10i-30}{i^{2}-3i+3i+9}*-i \end{eqnarray*}$ =

Hier hat sich im Nenner ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen, es sollte sein:

$\begin{align*} \dots = \frac{-5i^2+25i-30}{-i^2-3i+3i+9} \cdot (-i) = \frac{(-i)(-5i^2+25i-30)}{-i^2+9} = \dots \end{align*}$

Jetzt noch ausmultiplizieren und vereinfachen.

Zitat:

Original von JuhuMathe_
Nur mal angenommen, ich hätte richtig gerechnet, was vermutlich nicht der Fall ist, dann hab ich immer noch nen Problem mit der 8 und dem -i.
Soll dann $\begin{eqnarray*} 3,125i-3,125*-1 \end{eqnarray*}$ daraus werden?
Dann bin ich ja schon wieder so weit von der Grundform z = a + bi entfernt -.-

Angenommen, du hättest richtig gerechnet. Dann ist das überhaupt nicht weit von der Grundform entfernt, sondern entspricht genau dieser!
$\begin{align*} z = a+bi = 3.125+3.125i \end{align*}$

09.06.2015, 19:59

JuhuMathe_

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...also für mich sieht das jetzt kein bisl besser aus als zur Anfang der Aufgabenstellung xD

Das Ding is ja quasi rekursiv. Immer noch keine Ahnung wie ich den Nenner nach Oben bekomme ohne wieder das gleiche zu machen wie paar Schritte zuvor.

Ein Tipp bitte Gott

09.06.2015, 20:00

python_15

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Du hast das Ergebnis bereits (bis auf den Rechenfehler), siehe das Ende meines letzten Posts!

09.06.2015, 20:43

JuhuMathe_

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Zitat:

Original von python_15
Angenommen, du hättest richtig gerechnet. Dann ist das überhaupt nicht weit von der Grundform entfernt, sondern entspricht genau dieser!
$\begin{align*} z = a+bi = 3.125+3.125i \end{align*}$

Fehlt da nicht noch das * -i?
Egal, versuch ich mich nochmal...

$\begin{align*} \frac{-5i^2+25i-30}{-i^2-3i+3i+9} \cdot (-i) = \frac{(-i)(-5i^2+25i-30)}{-i^2+9} = \frac{5i^{3}-25i^{2}+30i}{i^{2}+9} = \frac{-5i+25+30i}{8} = \frac{25i+25}{8} = 3.125 + 3.125i \end{align*}$

Soo...hast recht, wenn das nu wirklich die Lösung is dann Hut ab xD
In der Klausur alleine werde ich da ja hart versagen, dafür is mein Zauberlevel noch nicht hoch genug LOL Hammer

Danke schonmal, ich fühle mich nun schon etwas schlauer Big Laugh

09.06.2015, 20:49

python_15

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Nein, das stimmt so noch nicht. Warum wird aus $\begin{align*} -i^2 \end{align*}$ plötzlich $\begin{align*} i^2 \end{align*}$ im Nenner?

Muss jetzt aber leider offline, bis später!

09.06.2015, 21:18

Dopap

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$\begin{eqnarray*} -i^2+9=10\rightarrow z=2.5+2.5i \end{eqnarray*}$

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