Komplexe Zahlen - Formel von Moivre |
| 10.06.2015, 18:46 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Komplexe Zahlen - Formel von Moivre Also ich habe mich nun weiter mit komplexen Zahlen beschäftigt und bin da auf eine Aufgabe gestoßen, die so in einer Klausur im Jahr zuvor gestellt wurde. Man soll nun also das konjugiert Komplexe, den Betrag, das Argument, Re(z) und Im(z) angeben. Habe mich an die Arbeit gemacht und erstmal das innere der Klammer vereinfacht. = Hoffe das ist bis hier hin richtig. So nu dachte ich, dass ich die Formel von Moivre benutze um nicht alles ausmulitplizieren zu müssen. Das Ganze soll ohne Taschenrechner gerechnet werden, von daher habe ich mich bei den Ergebnissen etwas gewundert. So nun kommt ja schon ein Part, den ich nicht ohne Taschenrechnerrechner könnte. Es gilt ja: Wie soll ich diese Werte ohne Taschenrechner rechnen und wie komme ich dann auf die Grundform z = a + bi , um die verlangten Werte auszurechnen? Hoffe ihr könnte mir helfen 
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| 10.06.2015, 19:20 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Komplexe Zahlen - Formel von Moivre
Rechne den Zähler noch mal nach und achte auf die Vorzeichen. Viele Grüße Steffen |
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| 10.06.2015, 19:51 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt hast recht, dann bekomme ich das raus: und Moivre: Dann bekomm ich ja nur die Zahl 32 raus. Nu weiß ich aber nich, wie ich das in die Form z = a +bi forme um die Aufgabe zu lösen... Oder war ich wieder falsch? xD |
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| 10.06.2015, 19:55 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Zahl -2i hat in der Tat den Betrag 2, aber ganz bestimmt nicht den Winkel Null! Dann wäre sie ja reell. |
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| 10.06.2015, 20:09 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe, aber die Formel ist doch aber phi=arctan(\frac{b}{a}). a ist in dem fall doch 0 oder nicht, denn es steht ja nur noch -2i da. |
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| 10.06.2015, 20:15 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, und deswegen versagt die Formel hier, Du würdest ja durch Null dividieren. Zum Mitmeißeln: Positive reelle Zahlen haben den Winkel Null. Positive imaginäre Zahlen haben den Winkel 90 Grad. Negative reelle Zahlen haben den Winkel 180 Grad. Negative imaginäre Zahlen haben den Winkel 270 Grad. |
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| 10.06.2015, 20:26 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ups sehe grade, hatte b und a in der Formel vertauscht. Wäre ich dann vllt auch früher drauf gekommen. Da ich ja Werte für die Aufgabe angeben soll muss man also wirklich alles ausmultiplizieren? Sieht man das schon vorher, dass man die Formel nicht anwenden kann um nicht unnötig Zeit zu verschwenden? |
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| 10.06.2015, 20:35 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was willst Du ausmultiplizieren? Den Betrag des Ergebnisses hast Du, der Winkel ist 270 Grad (aka -90 Grad) mal fünf, das schaffst Du im Kopf. Und wenn Du das Gemeißelte auswendig kannst, schaust Du einfach erst das an. Danach kannst Du immer noch die Formel nehmen. |
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| 10.06.2015, 21:02 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe ich jetzt net wirklich. Dachte wir haben jetzt nur nen Zwischenergebnis um sowas wie Re(z) etc auszurechnen, denn ich hab ja das Re und Im erstmal nur aus genommen und nicht aus der Grundform ohne nen hoch irgendwas. Deswegen war ich verwundert, warum man dieses Moivre Zeug dann überhaupt anwendet. Das mit den Sätzen die du geschrieben hast macht für mich auch recht wenig Sinn, da ja nicht bei jeder neg. imaginären Zahl den gleichen Winkel hast. Verstehe nix mehr |
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| 10.06.2015, 21:23 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kopf hoch. Du hast den Term, der hoch fünf genommen werden soll, nun als -2i berechnet. Das ist eine Zahl mit Betrag 2 und Winkel -90 Grad. Der Winkel ist übrigens bei jeder negativen imaginären Zahl -90 Grad, auch bei -47110815i. Und nun sagt Moivre: potenziere den Betrag mit 5, multipliziere den Winkel mit 5. Dann ist der Betrag also richtig 32, und der Winkel -450 Grad, also wieder -90 Grad. Siehst Du das? Welche Zahl ist das nun? |
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| 10.06.2015, 21:56 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Öhm.. Meinst du jetzt ? Also wieder nur eine negative imaginäre Zahl und somit wieder 270° ? Dann ist Re(z) = 0 Im(z) = -32. Der Betrag = 32. Das Argument 270° Und das konjugiert Komplexe = 32i? Demnach kommen ohne Realteil nur 90,180,270,360° Winkel und erst mit nem Realteil krumme Winkel. Macht Sinn wenn man sich die Zahlenebene anschaut. |
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| 10.06.2015, 21:58 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meine ohne Realteil nur 90 und 270 und ohne imaginärteil nur 0 und 180 |
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| 10.06.2015, 22:05 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Prima, es stimmt alles, was Du gerechnet hast. Allerdings musst Du gar nicht mit cos und sin rummachen. Moivre sagt nur, was ich geschrieben habe, mehr nicht. Und den Rest hast Du auch verstanden. Ohne Realteil hat eine Zahl entweder 90 Grad oder 270 Grad, sonst nichts. Und umgekehrt hat eben eine Zahl mit 270 Grad automatisch keinen Realteil. Versuch das zu verinnerlichen, es spart eine Menge Zeit beim Rechnen. Viele Grüße Steffen |
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| 11.06.2015, 00:29 | JuhuMathe_ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super vielen Dank für deine Hilfe und Geduld
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