Eigenwerte/Eigenvektoren von Matrizen berechnen

13.06.2015, 20:28	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte/Eigenvektoren von Matrizen berechnen Zu bestimmen sind die Eigenwerte und Eigenvektoren folgender Matrizen a) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie setze ich an?
13.06.2015, 20:29	JesusChristus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, zu erst bestimmst du die Eigenwerte und danach die Eigenvektoren... Wie bestimmt man denn die Eigenwerte einer Matrix?
13.06.2015, 20:52	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde erstmal das charakteristische Polynom berechnen: $\begin{eqnarray} \chi(\lambda) = \begin{vmatrix} (1-\lambda) & 1 & 0 \\ 0 & (1-\lambda) & 1 \\ 0 & 0 & (1-\lambda) \end{vmatrix} = (1-\lambda)^3 - (1 - \lambda) \cdot 0 \cdot 1 = (1- \lambda)^3 = - \lambda^3 + 3 \lambda^2 - 3 \lambda + 1 \end{eqnarray}$ Als Nullstelle erhalte ich $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ d.h. das ist der einzige Eigenwert der ersten Matrix, aus Aufgabenteil a)? Wie ich den dazugehörigen Eigenvektor berechne weiß ich nicht.
13.06.2015, 21:07	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast einen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 3! Den Eigenvektor zum Eigenwert 3 erhältst du, indem du das homogene lineare Gleichungssystem $\begin{eqnarray} Ker(A - 1 \cdot E_3) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ löst. Viele Grüße Widderchen
13.06.2015, 21:18	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, kriege ich dann einfach; $\begin{eqnarray} z = x_3 = y = x_2 = 0 \end{eqnarray}$ heraus? Was ist mit x bzw. x_1?
13.06.2015, 21:27	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig, und wie sieht es mit $\begin{eqnarray} x_1 \,\,\, oder \,\,\, x \end{eqnarray}$ aus??? $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ kannst du beliebig wählen, z.B. $\begin{eqnarray} x_1 = 1 \end{eqnarray}$ . Damit ist dein Eigenvektor zum Eigenwert 1 der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{e_1} \end{eqnarray}$ .
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13.06.2015, 21:37	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe, dann haben meine drei (identischen) Eigenwerte folgende Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \vec x_1 = \vec x_2 = \vec x_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Oder?
13.06.2015, 21:44	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genauer sagt man einfach: Der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist Eigenvektor zum Eigenwert 1 (der algebraischen Vielfachheit 3, da der Wert 1 dreifache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist). Der Eigenvektor erfüllt die sogenannte Eigenwertgleichung: $\begin{eqnarray} A \cdot \vec{x} = \lambda \cdot \vec{x} \end{eqnarray}$ . In diesem Beispiel wird also dein Eigenvektor mit der Matrix A auf sich selbst abgebildet, da ja $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ gilt. Widderchen
13.06.2015, 21:47	Kimyaci	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach soo, die zweite Teilaufgabe schaffe ich dann auch allein (ist ja analog zu a)). Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung, hat mir sehr geholfen!

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