Hauptachsentransformation

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Mathemus Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation
Meine Frage:
Hallo Leute.
Ich habe folgende Aufgabenstellung.
Finden Sie Für die Matrix


eine Matrix g sodass die Form

Soll also bedeuten eine Matrix mit Einheitsblöcken (bzw. negativen Einheitsblöcken) auf der Diagonalen(bis auf den Eintrag unten rechts und ansonsten nur 0 als Einträge.

Meine Ideen:
Ich weiss, dass g eine 3x3-Matrix sein muss, und hab zunächst versucht das charakteristische Polynom zu bestimmen. Allerdings bin ich dort nicht zu einem simplen Ergebnis gekommen, und auch Wolfram Alpha hat mir nur riesige Terme ausgespuckt.
Andere Möglichkeit die anhand eines Beispiels in meinem Skript erklärt wurde ist mit zu bestimmen und dann quadratische Ergänzung zu benutzen.
Folgenden Term hab ich dann am Ende stehen:

Jetzt muss ich die Matrix B finden, sodass . Leider komme ich immer auf falsche Ergebnisse in der Probe, und in dem Beispiel wird nicht ersichtlich was für Einträge ich für w verwenden muss.
Vlt. kann mir ja jemand weiterhelfen. Liebe Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jede symmetrische reelle Matrix ist diagonalisierbar, d.h. . Sie ist sogar orthogonal diagonalisierbar, d.h. . Siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Matrix

Diese Matrix hat 3 reelle Eigenwerte, . Zu eine symmetrische Matrix zu finden, so das das Problem löst, ist sehr leicht.
Mathemus Auf diesen Beitrag antworten »

Schonmal vielen Dank für die Antwort!
Aber wie soll ich die Matrix diagonalisieren wenn ich keinen Eigenwert kenne?
Mathemus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich mit der Aufgabe nochmal beschäftigt und bin nach quadratischer Ergänzung nun auf folgenden Term gekommen.
und
und mit ermittle ich

Anschliessend rechne ich
Das Ergebnis dieser Rechnung stimmt aber nur mit den ersten beiden Zeilen. Die 3. Zeile stimmt nicht mit der von A überein. Ich könnt wirklich hilfe brauchen smile Liebe Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man zwecks Diagonalisierung die Eigenwerte "kennen" ? Was heißt "kennen" bei irrationalen reellen Zahlen ? Genügt es nicht, zu wissen, dass es deren 3 verschiedene gibt, und dass sie die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind ?
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