Ansatz für Differentialgleichung

14.06.2015, 21:18

Lambda_

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Ansatz für Differentialgleichung

Meine Frage:
Moin. Ich sitze hier bei drei DGLs und finde einfach keinen passenden Ansatz:
(3x+y)y´=3y-x
(-x+2x^2y)dy+ydx=0
Es sind beides keine exakten DGLs und ich finde keinen intgrierenden Faktor, der die Gleichungen löst. Wie löst man so etwas?

Meine Ideen:
Integrierender Faktor

14.06.2015, 21:30

IfindU

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RE: Ansatz für Differentialgleichung
Die erste sollte gehen indem du
$\begin{eqnarray*} z(x) = 3x +y(x) \end{eqnarray*}$
substituierst, und dann Variation der Konstanten. Bei der zweiten weiß ich nicht genau was du mit dx und dy meinst.

14.06.2015, 21:40

Lamda_

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Aber dann müsste ich ja sicher auch 3y-x substituieren. Ansonten habe ich x,y und im Boot.
dy/dx = y´ = dy nach dx

14.06.2015, 21:47

IfindU

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Genau. Sollte nicht zu schwer sein die Definition von z nach y umzustellen und dann alle y zu ersetzen.

Also bei der zweiten Gleichung durch dx teilen, und dann steht links die Ableitung von y?

14.06.2015, 21:51

Lamda_

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Sorry. ich stehe gerade auf dem Schlauch. Könntest du mir den Ansatz "anrechnen" bzgl. der Substitution? Wohl schon zu spät für mich :-)

14.06.2015, 22:10

IfindU

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RE: Ansatz für Differentialgleichung
Wenn $\begin{eqnarray*} z(x) = 3x +y(x) \end{eqnarray*}$ , was ist dann
$\begin{eqnarray*} y(x) = ? \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} y'(x) = ? \end{eqnarray*}$

Damit kannst du dann die Differentialgleichung in y komplett darstellen als eine Differentialgleichung in z. Und wenn es zu spät für dich ist, dann beschäftige dich doch lieber morgen mit der Aufgabe.

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16.06.2015, 19:38

Mathema

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Hallo IfindU Wink

Wink

Der Threadersteller scheint ja das Interesse an diesem Thread verloren zu haben. Ich, der wenig Ahnung von Differentialgleichungen habe, versuche gerade mich etwas damit zu beschäftigen. Einfache Gleichungen durch Trennung der Variablen oder Substitution zu lösen, klappt ganz gut. Hier stoße ich jedoch an meine Grenzen und würde gerne diese Aufgabe verstehen. Magst du mir dabei helfen?

Ich versuche mal deinen Ansatz zu verfolgen:

Also Subtitution $\begin{eqnarray*} z=3x+y \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} y=z-3x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'=z'-3 \end{eqnarray*}$ .

Also ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} z(z'-3)=3(z-3x)-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zz'-3z=3z-9x-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} zz'-6z=-10x \end{eqnarray*}$

Aber wie geht´s nun weiter? Oder war das schon Mist, was ich dort gemacht habe?

16.06.2015, 19:57

IfindU

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Das ist richtig bis dahin.

Was man macht ist sich erst einmal das leichtere Probleme anzusehen, wo die pure x-Abhängigkeit ignoriert wird, d.h.
$\begin{eqnarray*} z z' - 6z = 0 \end{eqnarray*}$ .
Das ist recht leicht zu lösen und man bekommt eine Lösungsschar in Abhängigkeit einer Konstanten.

Dann bin ich davon ausgegangen, dass man den Rest mit Variation der Konstanten lösen kann. Man nimmt an der Parameter der Lösungsschar hängt (differenzierbar) von x ab und setzt es mal in die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} zz' - 6z = 10x \end{eqnarray*}$ ein und erhält eine Differentialgleichung in dieser "Konstanten". Aber die kann ich nur durch raten lösen. Sie ist recht einfach, aber dennoch nicht optimal. Ich probiere mal rum, ob ich etwas besseres als raten finde.

Edit: Variation der Konstanten bringt nicht einmal was, habe mich verrechnet. Dann kann man direkt z $\begin{eqnarray*} zz' - 6z = 10x \end{eqnarray*}$ mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} z = ax \end{eqnarray*}$ probieren und dann a bestimmen.
Wenn ich was intelligenteres finde, melde ich mich sofort wieder...

16.06.2015, 20:04

Mathema

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Alles klar, danke dir - das hilft mir doch schon ein Stück weiter. Mir war diese Methode bis eben nicht ganz klar, werde mal probieren deinen Weg zu gehen.

16.06.2015, 20:20

IfindU

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Was auch nicht helfen scheint ist
$\begin{eqnarray*} zz' = \frac 1 2 (z^2)' \end{eqnarray*}$ . Die (nicht einmal zwigende bijektive) Substitution $\begin{eqnarray*} w = z^2 \end{eqnarray*}$ liefert erwartungsgemäß genau das gleiche Problem.

Die Standardmethoden, die ich kenne, versagen hier leider alle -- verzeih Gott

Gott

16.06.2015, 20:24

Mathema

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Quatsch, da gibt es nichts zu verzeihen - total lieb, dass du dir noch mal die Zeit genommen hast.

Vielleicht fällt ja noch jemand anderen was dazu ein.

Dir einen schönen Abend!

Wink

Wink

16.06.2015, 21:11

IfindU

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RE: Ansatz für Differentialgleichung
So, habe Google bemüht und es stellt sich heraus, dass es in der ursprünglichen Form (fast) eine Exakte Differentialgleichung war.

Ich rechne gerade noch ein wenig rum. Offenbar kann man die Theorie nicht direkt anwenden, sondern muss einen integrierenden Faktor reinbringen. Wenn ich mich aber nicht verrechnet habe, bringen die üblichen Ansätze wie $\begin{eqnarray*} \mu = \mu(ax + by) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu = \mu(xy) \end{eqnarray*}$ einen nicht ans Ziel.

16.06.2015, 21:33

Mathema

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Das werde ich mir mal in Ruhe durchlesen. Danke für den Link erstmal. Das Themengebiet ist dann völlig neu für mich.

21.06.2015, 11:20

Mathema

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Hallo IfindU - habe grade noch ein wenig gelesen. Wollt einmal gucken, ob ich das nun richtig verstanden habe:

$\begin{eqnarray*} (3x+y)y'=3y-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3x+y)\frac{dy}{dx}=3y-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(3y-x)}_{p(x,y)}dx-\underbrace{(3x+y)}_{q(x,y)}dy=0 \end{eqnarray*}$

Nun die Überprüfung nach Exaktheit:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial y}(3y-x)=3 \neq -3 = \frac{\partial}{\partial x}(3x+y) \end{eqnarray*}$

Dann könnte man überprüfen, ob der integrierende Faktor nur von x oder y abhängt:

$\begin{eqnarray*} \frac{P_y-Q_x}{Q}=\frac{3-(-3)}{3x+y}=\frac{6}{3x+y} \end{eqnarray*}$

Das ist hier also nicht der Fall. Also muss ich einen Ansatz suchen, wo y und x berücksichtigt werden.

Stimmt das so? verwirrt

verwirrt

21.06.2015, 11:44

IfindU

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A priori prüfst du unten nur, ob es Funktion gibt, die nur von x abhängt. Es könnte sein, dass es eine gibt, die nur von y abhängt.

Sonst stimmt es. Und ich weiß nicht ob die Aufgabe extra so schwer gemacht wurde, oder man einfach das eine Minus übersehen hat und es eigentlich sofort exakt hätte sein sollen. Dann kann man sehr leicht ein Potenzial angeben und die DGL lösen.

21.06.2015, 13:37

Mathema

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Zitat:

A priori prüfst du unten nur, ob es Funktion gibt, die nur von x abhängt. Es könnte sein, dass es eine gibt, die nur von y abhängt.

Stimmt - habe ich vergessen zu erwähnen, dass ich exemplarisch nur für x hier prüfe. Danke für den Hinweis.

Zitat:

oder man einfach das eine Minus übersehen hat

Du meist also so?

$\begin{eqnarray*} -(3x+y)y'=3y-x \end{eqnarray*}$

Da es nicht meine Aufgabe ist, kann ich mir ja einfach mal das Minuszeichen denken und versuchen, dass deiner Meinung nach einfachere Problem zu lösen. Werde mich denn wieder melden, wenn ich eine Lösung oder noch ein Frage habe.

Vielen Dank schon mal und dir noch einen schönen Sonntag!

Wink

Wink

21.06.2015, 15:54

Mathema

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Also ich versuche mal:

$\begin{eqnarray*} -(3x+y)y'=3y-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(3x+y)\frac{dy}{dx}=3y-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(3x+y)dy=(3y-x)dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-3x-y)dy+(-3y+x)dx=0 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} P=-3y+x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q=-3x-y \end{eqnarray*}$

Überprüfung:

$\begin{eqnarray*} P_y=-3=Q_x \end{eqnarray*}$

Überraschung: Die Gleichung ist exakt.

Also integriere ich P nach x:

$\begin{eqnarray*} \int (-3y+x)dx = \frac{1}{2}x^2-3yx+c \end{eqnarray*}$

Ableiten nach y und vergleich mit Q:

$\begin{eqnarray*} -3x+C'(x)=-3x-y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C'(x)=-y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C(x)=-\frac{1}{2}y^2+c \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} F(x,y)=-\frac{1}{2}y^2-3yx+\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$

So - nun will ich nach y auflösen. Kann ich nun einfach meine Funktion gleich 0 setzen? Ich mache es einfach mal:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}y^2-3yx+\frac{1}{2}x^2+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2+6xy-x^2-2c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2c=c^* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)= -3x \pm \sqrt{9x^2+x^2+c^*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=-3x \pm \sqrt{10x^2+c^*} \end{eqnarray*}$

edit:

Würde ich nun als Lösung 2 Funktionen angeben? Also:

$\begin{eqnarray*} y(x)=-3x + \sqrt{10x^2+c^*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=-3x - \sqrt{10x^2+c^*} \end{eqnarray*}$

21.06.2015, 20:43

IfindU

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Zitat:

Original von Mathema
$\begin{eqnarray*} F(x,y)=-\frac{1}{2}y^2-3yx+\frac{1}{2}x^2+c \end{eqnarray*}$

So - nun will ich nach y auflösen. Kann ich nun einfach meine Funktion gleich 0 setzen?

Die Idee hinter dem Potential ist
$\begin{eqnarray*} y \text{ loest die Differentialgleichung} \iff \frac d { dx} F(x, y(x)) = 0 \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} F(x, y(x)) \end{eqnarray*}$ ist konstant, aber erst einmal nicht 0. Da du aber beim Integrieren noch eine frei Konstante übrig hast, spielt es keine Rolle.

Zitat:

Würde ich nun als Lösung 2 Funktionen angeben? Also:

$\begin{eqnarray*} y(x)=-3x + \sqrt{10x^2+c^*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=-3x - \sqrt{10x^2+c^*} \end{eqnarray*}$

Würde man wohl tun. Fordert man z.B. noch einen Anfangswert bei $\begin{eqnarray*} y(0) = x_0 \end{eqnarray*}$ so sieht man, dass man für positive x_0 die obere, für negative x_0 die untere Funktion nimmt. Für $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ scheinen sogar beide Lösungen zu funktionieren.

Allgemeiner sogar bekommst du die "Lösung" $\begin{eqnarray*} y(x)=-3x + s(x) \sqrt{10x^2+c^*} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ jedem x ein Vorzeichen zuordnet, d.h. $\begin{eqnarray*} s(x) = 1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} s(x) = -1 \end{eqnarray*}$ . Nun wird man sich an den meisten Orten mit einem Vorzeichen zufrieden geben müssen, da wir sonst ein unstetiges y erhalten (nicht etwas was wir gerne bei Differentialgleichungen wollen), aber hier gibt es für $\begin{eqnarray*} c^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ die Option das Vorzeichen zu wechseln, ohne die Stetigkeit zu verlieren. Die Differenzierbarkeit wird es aber nicht mögen, selbst ohne Vorzeichenwechsel (also konstantem s). Es sind subtile Kleinigkeiten, wollte ich aber nicht unter den Tisch fallen lassen.

21.06.2015, 22:58

Mathema

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Ok super - mir leuchtet alles ein was du erzählst. Und meistens kommt es ja auch auf die Kleinigkeiten an.

Vielen vielen Dank - du hast mir wirklich sehr geholfen!

Wink

Wink

21.06.2015, 23:20

grosserloewe

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Wink

Hinweis:

Diese Aufgabe kann durch Substitution

z=y/x gelöst werden. Dazu dividiere man beide Seiten zuerst durch (3x+y)
und substituiere dann.

smile

smile

22.06.2015, 17:05

Mathema

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Danke für den Hinweis. Ich habe mal dein Weg probiert und bin auch noch auf eine Frage gestoßen, die du oder IfindU mir hoffentlich noch beantworten könnt:

Also:

$\begin{eqnarray*} -(3x+y)y'=3y-x \end{eqnarray*}$

Nun dividieren wir:

$\begin{eqnarray*} -y'=\frac{3y-x}{3x+y} \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=zx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} -z'x-z=\frac{3zx-x}{3x+zx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -z'x-z=\frac{3z-1}{3+z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -z'x=\frac{3z-1}{3+z}+z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x=\frac{-3z+1}{3+z}-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}x=\frac{z^2+6z-1}{-z-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{x}=\frac{-z-3}{z^2+6z-1}dz \end{eqnarray*}$

So - integrieren hier ist ja nicht schwierig. Nur bin ich mir unsicher, wie ich die Konstanten notiere. Muss ich jetzt jede Konstante unterscheiden und mir stets eine neue definieren? Also so:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)+c_1=-\frac{1}{2}\ln(z^2+6z-1)+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\ln(x)-2c_1=\ln(z^2+6z-1)-2c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2c_1+2c_2=c_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2\ln(x)+c_3=\ln(z^2+6z-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{-2}e^{c_3}=z^2+6z-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{c_3}=c^* \end{eqnarray*}$

Resubstitution:

$\begin{eqnarray*} x^{-2}c^*=\frac{y^2}{x^2}+6\frac{y}{x}-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^*=y^2+6yx-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2+6yx-x^2-c^*=0 \end{eqnarray*}$

So - dann ist der Schluss ja identisch. Ich finde aber den Weg über die exakte Gleichung etwas einfacher und naheliegender.

22.06.2015, 17:11

grosserloewe

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Wink

Dann haben wir uns mißverstanden .

Ich meine die Ausgangsaufgabe und nicht die " erfundene" mit dem Minus.
Diese Ausgangsaufgabe kann doch mit dieser Substutution gelöst werden,
OHNE mittels Methode über die exakte DGL.

smile

smile

22.06.2015, 17:15

Mathema

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Ok - dann werde ich die andere Aufgabe auch noch mal rechnen. Aber die Substitution scheint ja auch bei der "erfundenen" Aufgabe zu klappen.

Und wie ist das nun mit der Notation meiner Konstanten? Ist das so in Ordnung?

22.06.2015, 19:06

Mathema

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Gut - dann die Aufgabe vom Threadersteller:

$\begin{eqnarray*} (3x+y)y'=3y-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{3y-x}{3x+y} \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=zx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} z'x+z=\frac{3zx-x}{3x+zx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x+z=\frac{3z-1}{3+z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x=\frac{3z-1}{3+z}-z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x=\frac{-3z+1-z(3+z)}{3+z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x=\frac{3z-1-3z-z^2}{z+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x=\frac{-z^2-1}{z+3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'x=\frac{z^2+1}{-z-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}x=\frac{z^2+1}{-z-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{x} = \frac{-z-3}{z^2+1}dz \end{eqnarray*}$

Gut - integrieren ist wieder nicht schwierig:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)+c_1=-\frac{1}{2}\ln(z^2+1)-3\arctan(z)+c_2 \end{eqnarray*}$

Resub.:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)+c_1=-\frac{1}{2}\ln(\frac{(y(x))^2}{x^2}+1)-3\arctan(\frac{y(x)}{x})+c_2 \end{eqnarray*}$

Nur, wie kann ich dieses nun nach y(x) auflösen? Oder wäre das nun mein Ergebnis?

22.06.2015, 19:17

grosserloewe

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Wink

das Ergebnis ist richtig. Die beiden Konstanten kannst Du noch zu einer zusammenfassen.
Mehr geht nicht , Du kannst hier nicht mehr umformen.

PS: Mir ging es NUR darum, das die Ursprungsaufgabe schon gelöst werden kann.
Für mich ist an dieser Stelle dann Schluß in diesem Thread.

Falls IfindU noch Handlungsbedarf sieht , kann er gern übernehmen.

smile

smile

22.06.2015, 19:20

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - vielen Dank!

Freude

Freude

22.06.2015, 22:06

Mathema

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Ok - weil es gerade so ein Spaß bringt und ich hier viel lerne, habe ich noch mal die andere Aufgabe vom Threadersteller probiert zu lösen. Es wäre lieb, wenn jemand noch mal drüber schauen könnte.

Also:

$\begin{eqnarray*} (-x+2x^2y)y'+y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{-y}{-x+2x^2y}=\frac{-y}{x(-1+2xy)} \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} z=-1+2xy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{z+1}{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{z' \cdot 2x-2(z+1)}{4x^2} \end{eqnarray*}$

Also ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{z' \cdot 2x-2(z+1)}{4x^2}=\frac{-\frac{z+1}{2x}}{xz} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{z' \cdot 2x-2(z+1)}{4x^2}=\frac{-z-1}{2x^2z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'\cdot 2x -2z-2=\frac{(-z-1)\cdot 4x^2}{2x^2z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot 2x -2z-2=\frac{-2z-2}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot 2x =\frac{-2z-2}{z}+2z+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot 2x =\frac{-2z-2+(2z+2)z}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot 2x=\frac{-2z-2+2z^2+2z}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z' \cdot 2x=\frac{2z^2-2}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} \cdot 2x = \frac{2z^2-2}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{2x}=\frac{z}{2z^2-2}dz \end{eqnarray*}$

Die Integrale kann man direkt ablesen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\ln(x)+c_1=\frac{1}{4}\ln(z^2-1)+c_2 \end{eqnarray*}$

Leider weiß ich immer noch nicht wie das mit den Konstanten läuft - also nummeriere ich sie durch.

$\begin{eqnarray*} 2\ln(x)+4c_1=\ln(z^2-1)+4c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\ln(x)+c_3=\ln(z^2-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot e^{c_3}=z^2-1 \end{eqnarray*}$

Resub. und Konstantenwechsel:

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot c_4=(-1+2xy)^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot c_4=1-4xy+4x^2y^2-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2y^2-4xy-x^2 \cdot c_4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2-\frac{1}{x}y-\frac{c_4}{4}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2x} \pm \sqrt{\frac{1}{4x^2}+\frac{c_4}{4}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2x} \pm \sqrt{\frac{1+c_4 \cdot x^2}{4x^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2x} \pm |\frac{1}{2x}|\sqrt{1+c_4 \cdot x^2} \end{eqnarray*}$

Also würde ich als Lösung erhalten:

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1}{2x} + |\frac{1}{2x}|\sqrt{1+c_4 \cdot x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(x)=\frac{1}{2x} - |\frac{1}{2x}|\sqrt{1+c_4 \cdot x^2} \end{eqnarray*}$

Frage:

Kann das stimmen?

23.06.2015, 12:32

IfindU

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Sieht gut aus Freude

Freude

Und technisch gesehen ist es wohl am saubersten die Konstanten alle mitzunehmen und separat zu nummieren. Allerdings sollte man solche Rechnungen (meiner Meinung nach) nur als Hilfe zur DGL lösen nehmen, und selten alles für bare Münze nehmen.

So liefert deine Rechnung implizit die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} c_4 = e^{c_3} > 0 \end{eqnarray*}$ . Allerdings vermute ich, dass negative Werte von c_4 auch (in gewissen Intervallen) eine Lösung darstellen. Daher verfolge ich z.B. Konstanten bei solchen Rechnungen nicht genau, genauso wenig wie ich Fälle wie durch 0 teilen separat aufspalte (wie du es auch nicht tust).

Was man üblicherweise macht ist fröhlich vor sich hin rechnen, bis man ein y bekommt. Dann kann man gucken wann es denn überhaupt stetig/differenzierbar ist und wo es die Differenzialgleichung löst. Dort investier ich dann lieber die Zeit es genau zu untersuchen. Das kann man in der Regel auch leicht sauber machen.

23.06.2015, 13:58

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Super - das freut mich gerade wirklich sehr!

So wurden aus einem vergessenen Thread drei wunderbare Aufgaben für mich, aus denen ich wirklich viel mitnehme, vor allem die Lust, sich weiter mit diesem Themengebiet zu beschäftigen.

Tausend Dank für die guten Erklärungen und Tipps.

Wink

Wink

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