Orthonormalisierung von 3 vektoren

14.06.2015, 21:31	Albiel	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalisierung von 3 vektoren Meine Frage: Ich bin ziemlich verwirrt von meinem Ergebnis, deswegen will ich wissen ob ich was falsch gemacht habe erstmal die aufgabe: Erzeugen sie aus den Vektoren $\begin{eqnarray} x1= \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} x2= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} x3= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein Orthonormalsystem Meine Ideen: hier meine Rechnung: $\begin{eqnarray} <br /> k1 = \frac{1}{\| \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \| }\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{30}}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> k2 = \frac{1}{\| \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \| }\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{30}}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ (da das skalar von x1 und x2 gleich 0 und somit orthogonal sind) soweit so gut nun x3 zuerst mal projektion auf k1 $\begin{eqnarray} $< \frac{1}{\sqrt{30}} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} >$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{30}} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nun projektion auf k2 $\begin{eqnarray} $< \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} >$ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt zusammengenommen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}-\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jetzt normiert: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\frac{66}{10} }} \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{10\sqrt{\frac{66}{10}} } \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und da kommt es mir komisch vor. Hab ich was falsch gemacht?
14.06.2015, 22:39	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Summe stimmt keine einzige Koordinate. Das solltest Du noch einmal prüfen.
14.06.2015, 22:54	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die drei Vektoren linear unabhängig sind und x1 orthogonal zu x2 ist, kannst du als dritten Vektor auch einfach das Kreuzprodukt von x1 und x2 ausrechnen und das Ergebnis normieren.
15.06.2015, 01:44	Albiel	Auf diesen Beitrag antworten »
das heißt, das das ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{4}}}\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das sieht zumindest besser aus. ich weiß auch wo mein rechenfehler und mein anschließender denkfehler war. Zumindest hat der Weg gestimmt sofern das ergebnis stimmt danke euch. $\begin{eqnarray} <br /> k1 = \frac{1}{\sqrt{30}}\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> k2 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> k3 = \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{4}}}\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end {pmatrix} \end{eqnarray}$
15.06.2015, 01:59	wopi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe keine Ahnung, wie du auf Wurzel(11/4) kommst!
15.06.2015, 08:36	Albiel	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, ich habe keine ahnung . Meine vermutung, irgendwie schwirte mir das im kopf rum weil ich da irgendwann mal draufgekommen bin oder in ner anderen aufgabe und ich habe es (aufgrund des mangel an schlaf den ich nun nachgeholt habe) einfach so mal aufgeschreiben nach sorgfältiger nochmalrechnung müsste es nach der normalisierung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{150}} \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da ja (um mich selbst nochmal zu überzeugen 55=25 sind somit (da 2mal) 50 und 1010 hundert und 100+50=150 und davon dann die Wurzel. Das müsste nun stimmen
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