Indirekter Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 |
| 15.06.2015, 06:52 | Kunibert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Indirekter Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 Hallo, ich habe folgenden Beweis zur Irrationalität von der Quadratwurzel aus 2 gelesen. Zuerst dachte ich, ich hätte ihn verstanden, aber dann fiel mir auf, daß man auf dieselbe Weise doch auch beweisen könnte, daß z.B. die Quadratwurzel aus 4 auch irrational wäre, was aber falsch ist. Ob mir jemand von Euch helfen könnte, meinen Denkfehler zu finden? Bei den Umformungen habe ich auch nach mehrmaligem Nachrechnen keinen Fehler gefunden. Hier der indirekte Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2: Zunächst behauptet man, daß Wurzel 2 rational ist, sich also als Bruch a/b schreiben läßt: Wurzel 2 = a/b a und b seien ganze Zahlen, b ungleich 0 und a und b seien teilerfremd, d.h. der Bruch a/b ist bereits vollständig gekürzt. Jetzt quadriert man die Gleichung und erhält: 2 = a^2 /b^2 Nach a^2 umstellen: a^2 = 2 * b^2 Gleichung I Wegen des Faktors 2 ist a^2 eine gerade Zahl. Wenn a^2 eine gerade Zahl ist, dann ist auch a eine gerade Zahl. Weil a gerade ist, kann man für a auch 2 * u schreiben (u sei eine beliebige natürliche Zahl): a = 2 * u Setzt man statt a den Term 2 * u in Gleichung I ein, so erhält man: (2*u)^2 = 2 * b^2 4 * u^2 = 2 * b^2 Gleichung durch 2 teilen: 2 * u^2 = b^2 Wegen des Faktors 2 ist auch b^2 eine gerade Zahl und somit ist auch b eine gerade Zahl: b = 2 * v (v sei eine beliebige natürliche Zahl) Jetzt sieht man aber bei a = 2 * u und b = 2 * v daß a und bei beide den gemeinsamen Faktor 2 enthalten, also NICHT teilerfremd sind, wie zu Beginn des Beweises vorausgesetzt wurde, d.h. die Vorraussetzung wurde widerlegt. Und wenn ich diesen Beweis nun richtig verstanden habe, dann kann man wegen der Widerlegung der Voraussetzung sagen, daß Wurzel 2 ungleich a/ b ist, sich also nicht als Bruch a/b schreiben läßt und deshalb irrational sein muß (weil sich ALLE rationalen Zahlen als a/b darstellen lassen). Meine Ideen: Wenn ich denselben Beweis nun mit Wurzel 4 führe, komme ich auch darauf, daß im Bruch a/b ein gemeinsamer Teiler auftritt, nämlich der gemeinsame Faktor u: Wurzel 4 = a/b a und b seien ganze Zahlen, b ungleich 0 und a und b seien teilerfremd, d.h. der Bruch a/b ist bereits vollständig gekürzt. Jetzt quadriert man die Gleichung und erhält: 4 = a^2 / b^2 Nach a^2 umstellen: a^2 = 4 * b^2 Gleichung II Wegen des Faktors 4 ist a^2 und somit auch a eine gerade Zahl: a = 2 * u Für a in Gleichung II den Term 2 * u einsetzen: (2 * u)^2 = 4 * b^2 4 * u^2 = 4 * b^2 Gleichung durch 4 teilen: u^2 = b^2 Wurzel ziehen: u = b Weil aber a = 2 * u und b = u enthalten a und b den gemeinsamen Faktor u, d.h. a und b sind NICHT teilerfremd, was im Widerspruch zu obiger Voraussetzung steht. Wegen dieses Widerspruches wäre Wurzel 4 doch auch ungleich a/b und somit wäre Wurzel 4 irrational??? Das ist aber falsch, Wurzel 4 ist rational. Könnt Ihr mir weiterhelfen? Viele Grüße |
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| 15.06.2015, 08:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Indirekter Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2
Du mußt zusätzlich auch zeigen, daß der gemeinsame Teiler nicht die 1 ist. 
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| 16.06.2015, 06:29 | Kunibert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Indirekter Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 Hallo klarsoweit, vielen Dank für Deinen Tipp 
Ich melde mich wieder, wenn ich rausgefunden habe, wie man zeigen kann, daß der gemeinsame Teiler nicht die 1 ist. Viele Grüße 
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| 16.06.2015, 08:22 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Indirekter Beweis für die Irrationalität von Wurzel 2 Das wird dir nicht gelingen. 
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| 16.06.2015, 09:31 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da hat wohl einer was aus dem Auge verloren:
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| 18.06.2015, 07:16 | Kunibert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Anderer Beweisversuch Guten Morgen klarsoweit und HAL 9000, vielen Dank für Eure Antworten! Da hab ich wohl noch geschlafen: Stimmt, die 1 ist ja immer gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner. Da ich mit dem indirekten Beweis so meine Schwierigkeiten habe, hab ich nach einem anderen Weg gesucht. Mir ist eine Möglichkeit für einen Beweis eingefallen, der geometrisch ist, über die Flächen der Quadrate a^2 und b^2. Werde mich heute oder die nächsten Tage dransetzen und ihn zur Diskussion ins Forum stellen. Viele Grüße |
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| 19.06.2015, 13:50 | Kunibert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Direkter Beweis für Irrationalität von Wurzel 2 Direkter Beweis zur Rationalität bzw. Irrationalität von Quadratwurzeln Behauptung: Die Quadratwurzel aus x ist dann rational, wenn x eine Quadratzahl ist: Wurzel x = a / b , wenn x = n² Die Quadratwurzel aus x ist dann irrational, wenn x keine Quadratzahl ist: Wurzel x ungleich a / b , wenn x ungleich n² a , b und n seien natürliche Zahlen und b ungleich 0 Direkter Beweis: Wurzel x = a / b Gleichung quadrieren: x = a² / b² Nach a² umstellen: a² = x * b² Gleichung (I) Diese Gleichung kann man geometrisch so interpretieren: Die Fläche a² des Quadrates mit der Seitenlänge a (dieses Quadrat wird im Folgenden kurz A genannt) setzt sich zusammen aus x Quadraten der Seitenlänge b und der Fläche b² (diese Quadrate werden im Folgenden kurz B genannt). Anders gesagt: Legt man x B-Quadrate zusammen, dann erhält man ein A-Quadrat. Welche Bedingung muß die Zahl x erfüllen? Ein Quadrat ist ein spezielles Rechteck, dessen Länge genauso groß ist wie seine Breite. Will man durch Zusammenlegen von x B-Quadraten ein A-Quadrat bilden, so muß man in Längenrichtung genauso viele B-Quadrate legen wie in Breitenrichtung. Angenommen man legt in Längenrichtung n B-Quadrate, dann muß man auch in Breitenrichtung n B-Quadrate legen, damit sich wieder ein Quadrat ergibt. Für die Fläche des A-Quadrates gilt : a² = Länge * Breite a² = n * b * n * b a² = n² * b² Gleichung (II) Vergleicht man die rechten Seiten von Gleichung (I) und (II), dann sieht man, daß: x * b² = n² * b² Gleichung durch b² teilen x = n² d.h. x ist eine Quadratzahl (also 1, 4, 9, 16 …aber auch ¼, 1/9, 1/16… und 4/9, 9/16 usw., siehe Anmerkung unten) Immer wenn x keine Quadratzahl ist, d.h. x ungleich n², dann kann man auch nicht aus n B-Quadraten ein A-Quadrat bilden (weil man dann nie ein Rechteck bilden kann, dessen Länge genauso groß ist wie seine Breite, also ein Quadrat). Beispiel n = 5: Aus 5 kleinen Quadraten kann man kein großes Quadrat legen. Da 2 keine Quadratzahl ist, ist die Quadratwurzel aus 2 irrational, was zu beweisen war. Anmerkung dazu, wenn x ein Bruch ist: Beispiel x = 4/9 Auch jetzt ist x eine Quadratzahl, denn (2/3)² = 4/9 n ist in diesem Fall 2/3. Meint Ihr, dieser direkte Beweis zur Irrationalität von Wurzel 2 ist korrekt??? Viele Grüße |
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| 19.06.2015, 14:18 | Luscinia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi
ich kann die Evidenz deines Beweises nicht sehen. Warum soll es nicht möglich sein, dass man eines der Quadrate aufteilen muss bzw. kann, um das andere Quadrat zusammenzubauen. Wenn n = 2/3 möglich ist, warum dann nicht n=pi ? Das sieht sehr willkürlich aus. |
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| 20.06.2015, 05:55 | Kunibert | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, Du hast recht. Schade, da war ich wohl zu voreilig Viele Grüße
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