Funktionsgleichungen lösen

18.06.2015, 13:39

Aths

Funktionsgleichungen lösen

Ich soll zwei Gleichungen lösen

f(x)=0,25e^0,5x
g(x)=e^-0,5x

Es sollte f(x)=4
und f(x)=g(x) gelöst werden

Was könnte ein Ansatz sein?

18.06.2015, 13:41

mYthos

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Bei beiden Fällen entstehen Exponentialgleichungen.
Welche Lösungsmethoden dafür kennst du?

mY+

18.06.2015, 13:43

adiutor62

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RE: Funktionen lösen
0,25e^0.5x=4

Löse nach x auf

0,25e^0,5x=e^-0,5x

Multipliziere die Gleichung mit e^0,5x.

EDIT: zu spät. Wink

18.06.2015, 13:46

Aths

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Danke für die Antworten.

0,25e*ln(0,5)=4

Ist das so richtig?

18.06.2015, 13:48

Aths

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Zitat:

Original von mYthos
Bei beiden Fällen entstehen Exponentialgleichungen.
Welche Lösungsmethoden dafür kennst du?

mY+

Da weiss ich gerade nicht die Richtige. Könntest du eine nennen?

18.06.2015, 14:06

mYthos

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Logarithmieren, aber richtig! Logarithmengesetze beachten!
Wo ist nach dem Logarithmieren das x hingekommen?

Bei $\begin{eqnarray*} \ln (0.25 \cdot e^{0.5x}) \end{eqnarray*}$ haben wir zunächst ein Produkt, wie wird dieses logarithmiert?

Nebenbei, durch den Faktor 0.25 kann man vorher dividieren, so steht dann

$\begin{eqnarray*} e^{0.5x} = 16 \end{eqnarray*}$

mY+

18.06.2015, 14:35

Aths

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Ich muss zuerst e^0,5x rechnen das mit 0,25 multiplizieren und davon den Logarithmus?

18.06.2015, 15:40

mYthos

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Wie willst du e^0.5x ausrechnen, wenn du x nicht kennst?
Nein, zuerst kann der Faktor 0.25 abgespaltet werden, indem man durch diesen dividiert oder eben mit 4 multipliziert, daher steht links dann 1*e^ ... und rechts 4*4 = 16

Erst dann wird die einfache Exponentialgleichung mittels Logarithmieren gelöst.

--------

Alternative, wenn du die Gleichung partout nicht vereinfachen willst:
Sofort logarithmieren:

$\begin{eqnarray*} \ln 0.25 \color{red}+\color{black} 0.5 x = \ln 4 \end{eqnarray*}$

mY+

18.06.2015, 18:13

Aths

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Ich möchte es vereinfachen. Lautet es dann

e^0,5x= 1?

18.06.2015, 20:55

mYthos

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Möchstest du bitte lesen, was im vorigen Post steht?
Die Gleichung soll mit 4 multipliziert werden, dann steht rechts 16.
Also, 0.25 ist ja gleich $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac {e^{0.5x}} 4 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{0.5x} = 16 \end{eqnarray*}$

mY+

18.06.2015, 21:19

Aths

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Entschuldigung, ich meinte 16.

ln(0,5)=16

18.06.2015, 22:17

Jefferson1992

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Zitat:

Original von Aths
Entschuldigung, ich meinte 16.

ln(0,5)=16

ne, weiß nicht wo mY+ hin ist, aber ich springe mal ein smile

Wie mY+ im vorherigen Post geschrieben hat, musst du folgendes logarithmieren.

$\begin{eqnarray*} e^{0.5x}=16 \end{eqnarray*}$

Wenn du da auf beiden Seiten logarithmierst, hast du:

$\begin{eqnarray*} ln(e^{0.5x})=ln(16) \end{eqnarray*}$

Und jetzt schau bitte mal nach, weil du es anscheinend nicht zu wissen scheinst, was der natürliche Logarithmus von einer Exponentialfunktion ist.

19.06.2015, 07:15

Aths

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Meinst du von einer Expotentialfunkrion? Ist das nicht unterschiedlich?

19.06.2015, 13:28

Jefferson1992

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$\begin{eqnarray*} ln() \end{eqnarray*}$ bedeutet Logarithmus zur Basis e von irgendeinem Ausdruck.

also wenn du $\begin{eqnarray*} ln(y) \end{eqnarray*}$ hast, kannst du das umschreiben zu:
$\begin{eqnarray*} e^{x}=y \end{eqnarray*}$

Das heißt, das was im Logarithmus steht, ist dein Ergebnis, das was als Basis, also tiefgestellt steht, ist der Ausdruck, den du hoch die gesuchte Zahl nehmen möchtest.

Deine gesuchte Zahl ist hier x.

Wenn du nun allgemein den Logarithmus betrachtest;

$\begin{eqnarray*} lg_{n}(a)=x \end{eqnarray*}$ : bedeutet, $\begin{eqnarray*} n^{x}=a \end{eqnarray*}$
Dabei ist x gesucht.

Ein paar Sonderfälle:

$\begin{eqnarray*} lg_{n}(n)=x \end{eqnarray*}$ : bedeutet, $\begin{eqnarray*} n^{x}=n \end{eqnarray*}$
Also merke, Wenn du den Logarithmus von n zur Basis n, also der Ausdruck und die Basis gleich sind, ist das Ergebnis $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt zu in deinem Beispiel interessanten Fall:

Was gilt für:

$\begin{eqnarray*} lg_{n}(n^{2x+3})=x \end{eqnarray*}$ ?

Du schreibst es wieder um:

$\begin{eqnarray*} n^{x}=n^{2x+3} \end{eqnarray*}$

Du hast beides mal $\begin{eqnarray*} n^{Ausdruck} \end{eqnarray*}$ da stehen.
bedeutet, du musst schauen, dass die beiden Exponente gleich sind.

also folgt:

$\begin{eqnarray*} x=2x+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$

So mit diesen 2 Fällen:

Was ist:

$\begin{eqnarray*} ln_{e}(e^{-0.5x})=ln(16) \end{eqnarray*}$

19.06.2015, 21:29

Aths

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Danke für die ausführliche Erklärung, ich habe jetzt die Lösung.

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