Kontraktionssatz

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Michelle1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Kontraktionssatz
Meine Frage:
Bestimmen Sie ein geeignetes Intervall D der angegebenen Form, so dass die Voraussetzungen des Kontraktionssatzes für die Fixpunktgleichung
x = G(x), x element D erfüllt sind.

(a) G(x)=1+x^(-1) +x^(-2), D=[a,2],
(b) G(x) =exp(-(x^4/4)1113089 D = [0,a].

Zeigen Sie zusätzlich im Fall (b), dass die Iteration xn+1 = G(xn), n = 0, 1, 2, . . . für alle x Element R konvergiert. Man überlege sich, dass diese Iteration nach wenigen Schritten in D landet.

Meine Ideen:
Hallo Numeriker,
kann mir jemand für diese Aufgabe eine Starthilfe oder einen Tip geben?
(Wie diese Zahl (1113089) hinkommt weiss ich allerdings nicht, die sollte nicht in der Aufgabe stehen)

Danke schonmal für eure Mithilfe
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mal als Starthilfe ein Schlagwort: Mittelwertsatz der Differenzialrechnung.

Hilft dir das weiter?

Und was ist jetzt mit 1113089?
 
 
Michelle1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Den Mittelwertsatz nutze ich dann dafür die Kontraktionskonstante zu bestimmen durch
c=max If´(x)I?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die brauchst du nicht mehr zu suchen, die kennst du schon bzw. es reicht idR zu wissen, dass die ist.

Die Kontraktionsbedingung fordert ja, dass auf einem Intervall [a,b] für alle ein existiert, sodass für all diese x,y gilt:

.

Der MWS besagt ja im wesentlichen, dass es ein gibt, sodass



bzw. dann natürlich auch




Erkennst du den Zusammenhang? Deine Aufgabe ist es nun, einen passenden Intervall zu finden.
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