Ordnung Punkt auf Gerade berechnen

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnung Punkt auf Gerade berechnen
Hallo allerseits,

ich habe ein Verständnisproblem die Ordnung eines Punktes auf einer Kurve zu berechnen.
Zunächst betrachte ich mal nur den Punkt im projektiv unendlichem
Die Gerade ist in affiner Form durch und gegeben.

Nun möchte ich gerne folgendes nachrechnen:



Die Ordnung von P auf L wurde als diskrete Bewertung eingeführt, d.h. für ein Uniformisierendes wird definiert:
wobei , dabei ist C eine Kurve (resp. elliptische Kurve und P ein Punkt auf C)
Die Menge enthält alle Kurven, die im Punkt P definiert sind. Im Buch von Silverman wird dies auch als als lokalen Ring von C in P notiert.

Wie kann ich hier denn im Allgemeinen vorgehen, um obiges Resultat zu verifizieren? Hilft eine Homogenisierung?
Mir wäre evtl. auch mit einem Link geholfen, wo Beispiele vorgerechnet werden oder wie ich das "x" interpretieren soll, damit ich auf einen Ausdruck komme.

Das Uniformisierende ist Erzeuger des maximalen Ideals von

Möglicherweise habe ich nun zu viele Informationen gegeben, vielleicht aber auch zu wenige. Dadurch wird mit Sicherheit bewusst, wie unsicher ich in der Thematik noch bin.


Meine Idee
Da der Punkt im Projektiven gegeben ist, kann ich entweder diesen dehomogenisieren oder die Geraden homogenisieren. D.h. wenn , dann
interpretiere ich dies im Punkt (0:1:0) habe ich einen Ausdruck "0/0". Ich muss also Umformungen vornehmen, sodass Z im Nenner verschwindet.
Aber hier sehe ich kein vorankommen.

Viele Grüße und vielen Dank
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Und scheint mir als ginge es dir um eine Aussage bzgl. elliptischer Kurven, Divisorenberechnung o.ä. was mir aber nur meine Glaskugel mir sagt.

Zitat:
Die Ordnung von P auf L wurde als diskrete Bewertung eingeführt, d.h. für ein Uniformisierendes wird definiert:
wobei , dabei ist C eine Kurve (resp. elliptische Kurve und P ein Punkt auf C)

Die Def. ist kaum nachvollziebar, da praktisch keine der Bezeichnungen erklärt ist.

Zitat:
dehomogenisieren oder die Geraden homogenisieren. D.h. wenn , dann

Die Dehomogenisierung von X bzw. Y nach Z ist x bzw. y.
Keine Ahnung was du da oben treibst, man setzt beim Dehomogenisieren schlicht 1 für die zu dehom. Variable.

Du hast zu ziemlich das wichtigste für die Fragstellung vergessen:

Was ist C?
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Hey und denke schonmal für die Rückmeldung. Deine Glaskugel ist ziemlich gut ;-)

C ist eine elliptische Kurve über einem perfekten Körper K, gegeben durch die allgemeine Weierstraßgleichung gegeben durch die Koeffizienten .

Ich hatte dort eine Homogenisierung durchgeführt. Mir ist aber soeben aufgefallen, dass ich dies falsch durchgeführt hatte und das richtige Ergebnis wieder "x" bzw. "y" wäre. (Ich habe den Vorfaktor Z^d mit d=1 stillschweigend ignoriert..)

Also sind weder Homo- noch Dehomogenisierungen hilfreich.

Fehlen noch Informationen zum Verständnis meines Vorhabens?

Viele Grüße
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Fehlen noch Informationen zum Verständnis meines Vorhabens?

ja und zwar: Was ist dein Vorhaben?
Die Aufgabe scheint zu sein die ordnung der Funktionen (!) x und y am unendlichen fernen Punkt zu bestimmen.
Und wie willst du vorgehen?
Das hängt halt - wie so oft davon ab - aus welcher Richtung ihr das Zeug in der Vorlesung betrachtet/bzw. das Buch das du nutzt.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Zitat:
Fehlen noch Informationen zum Verständnis meines Vorhabens?

ja und zwar: Was ist dein Vorhaben?
Die Aufgabe scheint zu sein die ordnung der Funktionen (!) x und y am unendlichen fernen Punkt zu bestimmen.
Und wie willst du vorgehen?
Das hängt halt - wie so oft davon ab - aus welcher Richtung ihr das Zeug in der Vorlesung betrachtet/bzw. das Buch das du nutzt.


Mein Vorhaben ist es nach zu rechnen, bzw. zu berechnen, um die Abbildung zu verstehen.

Aber aus Deinen Fragen ziehe ich zunächst für mich, dass ich den Gesamtzusammenhang der Abbildung und des Themas wohl nochmal nacharbeiten sollte.

Eingeführt wurde die Abbildung mit dem uniformiserenden Element. In einem Satz habe ich gesehen, dass eben auch folgende Notation bekannt ist:

für das Uniformisierende (P ist Nullstelle) und einem (P ist keine Nullstelle)

Ich werde immer wieder hier rein gucken und mich in ein paar Tagen damit wieder beschäftigen können, da ich derzeit noch einen Vortrag und eine Ausarbeitung anzufertigen habe.

Viele Grüße und vielen Dank schon mal für die Mühe :-)
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass eben auch folgende Notation bekannt ist:

Das ist keine Notation. Das ist eine Aussage.
Jedes r lässt sich in der Form für geeignete h und m schreiben, da wir hier in einem diskreten Bewertungsring (DVR) sind.

Weise doch mal nach, dass X/Y eine Ortsuniformisierende ist, dann kannst du nit deiner Definition weiterarbeiten.
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das wollte ich dann am Ende auch machen. Denn ich habe gezeigt, dass alle nicht-tangenten (ord=1) uniformisierende sind.
Ich wollte dann folgendes nachweisen: durch

Daher wollte ich gerne den umgekehrten Weg gehen. Ist dies überhaupt praktikabel, oder ist es anders herum sinnvoller/leichter?

Viele Grüße und danke für den Vorschlag
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Daher wollte ich gerne den umgekehrten Weg gehen. Ist dies überhaupt praktikabel, oder ist es anders herum sinnvoller/leichter?

Ja das ist eines der Sachen die mich hier von Anfang an irritieren. Der umgekehrte Weg ist mMn der deutlich einfachere.

Nur gibt es halt mit eurer Definition (bzw. dem Teil den du hier ab dh. im ersten Post als Definition darstellst) ein Riesenproblem:
Die Definition ist von der Ortsuniformisierenden abhängig. Ohne die keine Ordnung.
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