Eigenvektor von F (Tensor) F

19.06.2015, 11:10

FourPhone

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Eigenvektor von F (Tensor) F

Meine Frage:
Hi!

Ich bräuchte nur einen kleinen Anstoß.

Ich soll von folgender Abbildung $\begin{eqnarray*} <br /> F\otimes F: V\otimes V -> V\otimes V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} <br /> <br /> (F\otimes F)(v\otimes w) = (F(v))\otimes (F(w)) \end{eqnarray*}$ zeigen, dass ein vorgegebener Wert $\begin{eqnarray*} e_{1} \wedge e_{2} \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von dieser Abbildung ist, und dazu den Eigenwert berechnen.

Meine Ideen:
Ich weiß, wie man von Matrizen den Eigenvektor und den Eigenwert berechnet (charakteristisches Polynom usw..). Aber wie stell ich das mit dieser Abbildung an? Kann ich die auch irgendwie als Matrix darstellen? Wenn ja, wie? Ich glaub das ist der Hauptpunkt an dem es bei mir momentan scheitert.

Vielen Dank!

19.06.2015, 11:22

Captain Kirk

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Hallo,

wie wär's direkt mit der Definition der Begriffe Eigenwert/vektor?

19.06.2015, 12:39

FourPhone

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Klar!

Sei $\begin{eqnarray*} F\in End(V) = Hom (V,V). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\in K \end{eqnarray*}$ heißt Eigenwert von F, falls $\begin{eqnarray*} \exists v\in V, F(v)=a*v \end{eqnarray*}$ mit V ohne 0.
$\begin{eqnarray*} v\in K \end{eqnarray*}$ heißt Eigenvektor von F, falls $\begin{eqnarray*} \exists v\neq0 \wedge \exists a\in K,F(v)=a*v \end{eqnarray*}$ .

Ok, mein vorausichtlicher Eigenvektor ist definiert als:
$\begin{eqnarray*} e_{1} \wedge e_{2} = \frac{1}{2}*(e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}) \end{eqnarray*}$

das heißt:
$\begin{eqnarray*} F(\frac{1}{2}*(e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}))=\frac{1}{2}*(e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1})*a \end{eqnarray*}$

Guuuut.. ok. Und was sagt mir die linke Seite nun?
Achso, das habe ich leider vergessen im 1. Post zu erwähnen, V = |R²

LG

19.06.2015, 12:46

Captain Kirk

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Ja, dann rechne halt mal die linke Seite aus...
(was ich nicht kann, da ich nicht weiß wie F definiert ist.)

19.06.2015, 12:52

FourPhone

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Zitat:

Original von FourPhone
Guuuut.. ok. Und was sagt mir die linke Seite nun?
LG

Ja, alles was ich zu F, also F(tensor)F weiß, steht oben im 1. Post.. und da versteh ich die Abbildungsvorschrift nicht so ganz, weswegen ich es nicht ausrechnen kann. :/

Deswegen dachte ich ja man kann es irgendwie auf eine Matrix übertragen?

LG

19.06.2015, 13:09

Captain Kirk

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Zitat:

Deswegen dachte ich ja man kann es irgendwie auf eine Matrix übertragen?

Das ist dann wohl Wunschdenken. Wie willst du denn eine darstellende Matrix erstellen?

Es soll wohl $\begin{eqnarray*} F \otimes F \end{eqnarray*}$ zumindest linear sein, oder? (steht nirgends explizit).
Dann würde ich zumindest das mal ausnützen.

Zitat:

da versteh ich die Abbildungsvorschrift nicht so ganz,

Dann wär das doch ein Ansatzpunkt. Was genau verstehst du denn nicht?

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19.06.2015, 13:24

FourPhone

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Ja, F ist auch in der Aufgabenstellung element End(V), also ist es linear.

Naja, was es macht verstehe ich. Aber nicht, wie ich das auf meinen Vektor anwenden soll.

$\begin{eqnarray*} F \otimes F(\frac{1}{2}*(e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}))<br /> = F \otimes F(\frac{1}{2}*(e_{1} \otimes e_{2}) - (\frac{1}{2}*(e_{2} \otimes e_{1})))<br /> \end{eqnarray*}$
ich weiß nicht ob nachfolgende Umformung so richtig ist, aber..:
$\begin{eqnarray*} <br /> = F \otimes F(\frac{1}{2}*e_{1} \otimes \frac{1}{2}*e_{2}) - (\frac{1}{2}*e_{2} \otimes\frac{1}{2}* e_{1}))<br /> =F \otimes F(\frac{1}{2}*e_{1} \otimes \frac{1}{2}*e_{2})) - F \otimes F(\frac{1}{2}*e_{2} \otimes\frac{1}{2}* e_{1}))<br /> \end{eqnarray*}$
Stimmt das so? Wenn ja, kann ich ja dann die Abbildungsvorschrift nutzen und es berechnen..?

LG

19.06.2015, 13:32

Captain Kirk

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Zitat:

Ja, alles was ich zu F, also F(tensor)F weiß, steht oben im 1. Post..

so viel also zu dem Thema:

Zitat:

F ist auch in der Aufgabenstellung element End(V),

Bitte teile die Aufgabenstellung vollständig mit und nicht scheibchenweise inkl. Leugnung.

Zitat:

Stimmt das so?

Mit den Klammern stimmt was überhaupt nicht, was mir das Lesen sehr erschwert.
Wieso ziehst du das 1/2 in die Tensoren (und wie tust du das überhaupt?) statt raus?
Soweit ich das sehe hast du bis jetzt nur das f(a-b)=f(a)-f(b) gerechnet.

Zitat:

dann die Abbildungsvorschrift nutzen und es berechnen

Ja bitte tu das mal.

19.06.2015, 17:49

FourPhone

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Ja, tut mir leid.

Ich komme schlussendlich auf einen Eigenwert von meinem v:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{F(e_{1}) \otimes F(e_{2}) - F(e_{2}) \otimes F(e_{1})}{e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}} \end{eqnarray*}$

Weiter zusammenfassen kann ich das ja nicht, weil mein F nicht genauer definiert ist?!

19.06.2015, 18:06

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{F(e_{1}) \otimes F(e_{2}) - F(e_{2}) \otimes F(e_{1})}{e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}} \end{eqnarray*}$

Wie willst du denn bitte durch einen Vektor bzw. ein Tensorprodukt teilen?

19.06.2015, 18:38

FourPhone

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Hm, jetzt wo dus sagst. verwirrt

verwirrt

Ich hab es halt eingesetzt: F(v)=v*a

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (F(e_{1}) \otimes F(e_{2}) - F(e_{2}) \otimes F(e_{1})) = (\frac{1}{2} (e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}))*a \end{eqnarray*}$

Wie kann ich es denn sonst umstellen? Das leuchtet mir jetzt nicht so ein.. oder es ist einfach zu offensichtlich.

LG

19.06.2015, 18:44

Captain Kirk

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Zitat:

Wie kann ich es denn sonst umstellen?

Da sind wir wieder am Anfang:
Ich sehe keinen Weg ohne wenigstens irgendwas über F zu wissen.
Also: exakte Aufgabenstellung.

19.06.2015, 18:53

FourPhone

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Ok, ich tippe jetzt genau alles ab wie es bei mir auf dem Blatt steht:

a) Sei $\begin{eqnarray*} V= \mathbb R^{2}=span(e_{1},e_{2}) \end{eqnarray*}$
Wir definieren $\begin{eqnarray*} e_{1} \wedge e_{2} = \frac{1}{2}*(e_{1} \otimes e_{2} - e_{2} \otimes e_{1}) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} F \in End(V). \end{eqnarray*}$ Wir definieren die Abbildung $\begin{eqnarray*} F\otimes F: V\otimes V -> V\otimes V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (F\otimes F)(v\otimes w) = (F(v))\otimes (F(w)) \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass sowieso ein Eigenvektor ist und berechnen sie den entsprechenden Eigenwert.

Mehr steht da absolut nicht. Freude

Freude

19.06.2015, 19:40

Captain Kirk

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Sei F=0 dann ist der Eigenwert 0.
Sei F=z*id, so ist der Eigenwert z² usw.
Ich sehe überhaupt nicht wie man diese Frage sinnvoll beantwortet werden soll.

19.06.2015, 23:13

FourPhone

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Na toll xD
Dann bedanke ich mich trotzdem schonmal für deine Hilfe!

20.06.2015, 15:27

dastrian

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Zitat:

Ich sehe überhaupt nicht wie man diese Frage sinnvoll beantwortet werden soll.

Vielleicht indem man $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ausschreibt als $\begin{eqnarray*} F(e_1) = a_1 e_1 + a_2 e_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} F(e_e) = b_1 e_1 + b_2 e_2 \end{eqnarray*}$ mit Skalaren $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, b_1, b_2 \end{eqnarray*}$ , dann kann man den Eigenwert von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ zum Eigenvektor $\begin{eqnarray*} e_1 \wedge e_2 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, b_1, b_2 \end{eqnarray*}$ schreiben.

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