Grenzwertbestimmung mit l'Hospital

20.06.2015, 16:02

Rivago

Grenzwertbestimmung mit l'Hospital

Ich hätte kurz eine allgemeine Frage zur Grenzwertbestimmung mit l'Hospital.

Wann kann man das benutzen? Das geht doch nur, wenn ich eine Funktion in Form eines Bruches hab, richtig?

20.06.2015, 16:40

klarsoweit

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RE: Grenzwertbestimmung mit l'Hospital
Im weitesten Sinne, ja.

20.06.2015, 16:53

Rivago

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Okay

Dann hier mal kurz ein Beispiel, bei dem ich nicht weiter komm..

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x \cdot sin(2x)}{sinh^2x} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ja die Ableitungen bilden:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{sin(2x) + 2x \cdot cos(2x)}{2sinh \ x \cdot cosh \ x} \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Wie macht man dann weiter? Was ist genau das Ziel, damit ich zum Grenzwert komme?

20.06.2015, 17:23

klarsoweit

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Da der Sinus beschränkt ist, würde ich mir nur $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x}{sinh^2(x)} \end{eqnarray*}$ ansehen. smile

20.06.2015, 17:26

Rivago

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Ich verstehs nicht unglücklich

20.06.2015, 17:31

klarsoweit

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Und wo klemmt es? Bei der Grenzwertbildung von dem Term, den ich vorgeschlagen habe?

20.06.2015, 17:39

Rivago

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Naja, allgemein noch am Verständnis.. Wo muss man hin, damit man den Grenzwert hat?! Wie lange muss man umformen?

Den Teil, den ich hier geschrieben hab, also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{sin(2x) + 2x \cdot cos(2x)}{2sinh \ x \cdot cosh \ x} \end{eqnarray*}$ hab ich ohne die Musterlösung hingekriegt..

So.. nun guck ich da nach, und dann steht da "Auch hier funktioniert l'Hospital, allerdings brauchen wir ihn 2 mal".

Warum 2 mal? verwirrt

Und was genau hat man dann jetzt nach $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{sin(2x) + 2x \cdot cos(2x)}{2sinh \ x \cdot cosh \ x} \end{eqnarray*}$ noch gemacht? Wie kommen die auf den nächsten Teil und warum will man da überhaupt hin kommen`?

Edit: und wieso betrachtest du nur den Teil, während in der Lösung alles betrachtet wird? Würdest du also nur das $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x}{sinh^2(x)} \end{eqnarray*}$ ableiten?

20.06.2015, 17:46

klarsoweit

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Du bist schon einen Schritt zu weit. Ich betrachte erstmal:

Zitat:

Original von Rivago
Dann hier mal kurz ein Beispiel, bei dem ich nicht weiter komm..

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to \infty}\frac{x \cdot sin(2x)}{sinh^2x} \end{eqnarray*}$

Warum sofort l'Hospital machen? Erstmal zurücklehnen und sich dieses überlegen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq |\frac{x \cdot sin(2x)}{sinh^2(x)}| = |\frac{x}{sinh^2(x)}| \cdot |sin(2x)| \leq |\frac{x}{sinh^2(x)}| \end{eqnarray*}$

Und jetzt mal schauen, wohin die rechte Seite der Ungleichung konvergiert. Augenzwinkern

20.06.2015, 17:53

Rivago

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Ich schau es mir später an. Bin erstmal kurz weg.

Bis später und danke schonmal Wink

20.06.2015, 21:05

Rivago

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Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} 0 \leq |\frac{x \cdot sin(2x)}{sinh^2(x)}| = |\frac{x}{sinh^2(x)}| \cdot |sin(2x)| \leq |\frac{x}{sinh^2(x)}| \end{eqnarray*}$

Und jetzt mal schauen, wohin die rechte Seite der Ungleichung konvergiert. Augenzwinkern

Welchen Teil genau meinst du mit "rechte Seite"?

Diesen hier?: $\begin{eqnarray*} |\frac{x}{sinh^2(x)}| \cdot |sin(2x)| \leq |\frac{x}{sinh^2(x)}| \end{eqnarray*}$

Und davon jetzt nochmal der rechte Teil, also $\begin{eqnarray*} |\frac{x}{sinh^2(x)}| \end{eqnarray*}$

Wenn du das meinst, dann geht dieser Teil gegen 0.

21.06.2015, 10:36

klarsoweit

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Genau das meinte ich. Und was folgt nun für den ursprünglichen Term?

21.06.2015, 13:13

Rivago

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Das ich mir nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{sin(2x)}{sinh^2(x)} \end{eqnarray*}$ angucken muss?

22.06.2015, 08:22

klarsoweit

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Nee.

Hast du schon mal was von dem Einschließungs-Lemma gehört?

22.06.2015, 10:31

Matt Eagle

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Vielleicht wäre es nicht verkehrt zunächst mal ganz genau zu gucken ob es hier nun um $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \end{eqnarray*}$ oder um $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty} \end{eqnarray*}$ gehen soll.

22.06.2015, 17:57

Rivago

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Ohh Mist.. da hat Matt Eagle recht.. ich hab die Aufgabe tatsächlich falsch abgeschrieben..

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to 0}\frac{x \cdot sin(2x)}{sinh^2x} \end{eqnarray*}$

@klarsoweit: Nein, von einem Einschließungs-Lemma hab ich noch nichts gehört..

22.06.2015, 19:12

Matt Eagle

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Die elementaren Grenzwerte

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x = \lim_{x\to 0}\frac{\sinh(x)}x=1 \end{eqnarray*}$

solltest Du entweder kennen oder jeweils durch 1-malige Anwendung von L'Hospital zeigen können.

Durch marginale Umformungen Deines Terms kannst Du den gesuchten Grenzwert dann aus Obigem folgern.

23.06.2015, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rivago
@klarsoweit: Nein, von einem Einschließungs-Lemma hab ich noch nichts gehört..

Man nennt ihn auch Einschnürungsatz: https://de.wikipedia.org/wiki/Schachtelungssatz

Blöd nur, daß die Aufgabe eine andere war. geschockt

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