Stetige Abbildungen auf einer Topologie =>Homöomorphismen

22.06.2015, 10:54	Moonfire	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Abbildungen auf einer Topologie =>Homöomorphismen Hallo! Kann sich jemand vielleicht meinen Beweis anschuen und sagen, ob er ok. ist? Die Aufgabenstellung: Sei G eine Gruppe und T eine Topologie auf G, sodass für alle $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ die Abbildungen $\begin{eqnarray} h \mapsto gh=:r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h \mapsto hg=:l \end{eqnarray}$ stetig sind. Zeigen Sie, dass für jedes $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ diese Abbildungen sogar Homöomorphismen sind. Zeigen Sie auch, dass eine Untergruppe H von G, welche bezüglich T offen ist, auch abgeschlossen ist! Hinweis: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \{gH: g \in G \} \end{eqnarray}$ eine Partition abgibt, also dass dieses Mengensystem die Restklassenmenge einer Äquivalenzrelation ist. Beweis: 1) zz: $\begin{eqnarray} \forall g \end{eqnarray}$ sind diese Abbildungen Homöomorphismen $\begin{eqnarray} l^{-1} (x) = xg^{-1}, r^{-1} (x) = g^{-1} (x) \end{eqnarray}$ sind die Inversen Abbildungen. Da $\begin{eqnarray} g^{-1} \in G \end{eqnarray}$ (3. Gruppenaxiom), sind $\begin{eqnarray} l^{-1}, r^{-1} \end{eqnarray}$ stetig $\begin{eqnarray} \Rightarrow r, l \end{eqnarray}$ sind stetige Bijektionen mit stetigen Inversen => Homöomorphismen 2) zz: eine Untergruppe H von G, welche bzgl. T offen ist, ist auch abgeschlossen $\begin{eqnarray} P:= \{gH\|g \in G \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H \neq \emptyset \Rightarrow \forall g \in G: gH \neq \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset \Rightarrow \exists h_1, h_2 \in H : g_1 h_1 = g_2 h_2 \Rightarrow \forall h \in H: \exists \tilde{h}_{1,2} \in H: h=h_1 \tilde{h_2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h=h_2 \tilde{h_2} \end{eqnarray}$ Also: $\begin{eqnarray} g,h \in g_1H \Rightarrow g_1h = g_2h_2\tilde{h_1} \Rightarrow g_1h \in g_2H \Rightarrow g_1H \subseteq g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2h \in g_2H \Rightarrow g_2h = g_1h_1 \tilde{h_2} \in g_1H \Rightarrow g_2H \subseteq g_1H \Rightarrow g_1H = g_2H \end{eqnarray}$ H ist eine Untergruppe von G => e(:=das neutrale Element) liegt in H $\begin{eqnarray} \Rightarrow \forall g \in h: g=ge \in gH \Rightarrow \cup_{g \in G} gH=G \Rightarrow P \end{eqnarray}$ ist wirklich eine Partition $\begin{eqnarray} g \in H \Leftrightarrow gH=H \end{eqnarray}$ da wenn $\begin{eqnarray} g \in H \Rightarrow \forall h \in H: gH \in H \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \notin H \Rightarrow ge \notin H \Rightarrow gH \neq H \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} H \in P \Rightarrow gH \cap H = \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H^c = \cup_{g \in H^c} gH \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} r^{-1} \end{eqnarray}$ und r stetig sind, $\begin{eqnarray} (r^{-1} ) ^{-1} (H) = r(H) \Rightarrow g(H) \end{eqnarray}$ ist offen $\begin{eqnarray} \Rightarrow H^c \end{eqnarray}$ ist die Vereinigung offener Mengen $\begin{eqnarray} H^c \in T \end{eqnarray}$
22.06.2015, 23:17	Moonfire	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir bitte jemand antworten?
22.06.2015, 23:47	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu, das mit den Homöomorphismen stimmt. Ich finde deinen Beweis zur Partitionseigenschaft nicht sehr verständlich. Dass $\begin{align} \bigcup_{g\in G}gH = G \end{align}$ ist klar. Es ist also zu zeigen, dass entweder $\begin{align} gH = hH \end{align}$ oder $\begin{align} gH \cap hH = \emptyset \end{align}$ . Existiert $\begin{align} l\in gH\cap hH \end{align}$ , so existieren $\begin{align} g_1,h_1\in H: gg_1 = hh_1 \end{align}$ , also $\begin{align} h^{-1}g = h_1{g_1}^{-1}\in H \end{align}$ , also $\begin{align} h^{-1}gH = H \end{align}$ bzw. $\begin{align} gH = hH \end{align}$ . Simpel, präzise, ausreichend. Bei dir blicke ich nicht durch, das ist viel zu umständlich und ich habe auch schon mindestens 2 Fehler entdeckt, wo du dich verschrieben hast. So ist das nicht zu korrigieren. Der letzte Schluss stimmt dann wieder, ist auch wieder mit einem Schreibfehler behaftet.
23.06.2015, 00:31	Moonfire	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!! Zu dem letzten Teil: l(H)=gH $\begin{eqnarray} H^c = \bigcup_{g \in H^c} gH = \bigcup_{g \in H^c} l(H) \end{eqnarray}$ Homöomorphismen bilden offene Mengen auf offene Mengen ab, also ist l(H) offen $\begin{eqnarray} =>H^c \end{eqnarray}$ ist die Vereinigung offener Mengen => $\begin{eqnarray} H^c \in T \end{eqnarray}$ Würde das so gehen? Bei den Homöomorphismen bin ich mir nicht sicher, wieso r und l bijektiv sind...

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