Zeigen, dass det(A^-1) = (det (A) )^-1

29.06.2015, 13:45	Doof01	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass det(A^-1) = (det (A) )^-1 Meine Frage: Guten Tag, um meine Frage zu stellen, werde ich erstmal die Aufgabe vorstellen. Die Aufgabe sieht wie folgt aus: Es gilt zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} det(A^{-1}) = (det (A))^{-1} \end{eqnarray}$ Jedoch ausschließlich mit folgenden Informationen: 1) Jede invertierbare Matrix A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ M(nxn,K) lässt sich als Produkt endlich vieler Elementarmatrizen darstellen. 2) det(AB)= det(A)det(B) Meine Ideen:* Nun zu meinem Ansatz: $\begin{eqnarray} det(A^{-1})= det(B_{r}...B_{1}) \end{eqnarray}$ (Hier habe ich $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ in Elementarmatrizen zerlegt.) $\begin{eqnarray} det(B_{r}...B_{1})= detB_{r}...detB_{1} \end{eqnarray}$ (Unter der Verwendung von 2) ) $\begin{eqnarray} detB_{r}...detB_{1}= (detB_{r}^{-1}...detB_{1}^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ (Da det(A) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K und es gilt, für x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ K gilt $\begin{eqnarray} x=(x^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} (detB_{r}^{-1}...detB_{1}^{-1})^{-1}=(detB_{1}^{-1}...detB_{r}^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ (Umformung ist erlaubt, da das Kommutativgesetz bezüglich der Mult. in K gilt) $\begin{eqnarray} (detB_{1}^{-1}...detB_{r}^{-1})^{-1}=det(B_{1}^{-1}...B_{r}^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ ( Unter der Verwendung von 2) ) $\begin{eqnarray} det(B_{1}^{-1}...B_{r}^{-1})^{-1}= (det (A))^{-1} \end{eqnarray}$ ( Hier wurden das Produkt der Elementarmatrizen wieder zu A zusammengesetzt) Ps: Ich bin im ersten Semester und dies ist meine erste Frage in diesem Forum. Vielen Dank im Voraus für jede Antwort. Peace.
29.06.2015, 14:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benutzt $\begin{eqnarray} det(B_i)=((det(B_i))^{-1})^{-1}=(det(B_i^{-1}))^{-1} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (det(B_i))^{-1}=det(B_i^{-1}) \end{eqnarray}$ das musst du aber wenigstens für die Elementarmatrizen beweisen, sonst könntest Du es ja gleich für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ benutzen, und das ist genau die Behauptung.
29.06.2015, 14:16	Doof01	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Elvis, vielen Dank für deine Antwort. Sowas habe ich mir schon gedacht. Was genau meinst du, soll ich für Elementarmatrizen zeigen?
29.06.2015, 14:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen: $\begin{eqnarray} det(B^{-1})=\frac 1 {det (B)} \end{eqnarray}$ für jede Elementarmatrix $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Dann funktioniert Dein Versuch und wird ein Beweis.
29.06.2015, 14:57	Doof01	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider kann ich dir nicht ganz folgen. An welcher Stelle meines Versuchs soll ich mit deinem Vorschlag ansetzten?
29.06.2015, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal ist die Aussage für jede invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ nach dem Deteminatenmultiplikationssatz (DMS) klar, denn $\begin{eqnarray} 1=det(I)=det(AA^{-1})=_{DMS}=det(A)det(A^{-1})\Rightarrow det(A^{-1})=\frac 1 {det(A)}=(det(A))^{-1} \end{eqnarray}$ . Du musst entsprechend der Aufgabenstellung diese Aussage für alle Elementarmatrizen elementar beweisen. Das geht, wenn Du die 3 Elementarmatrizen und ihre Inversen kennst, indem Du die Determinanten z.B. nach dem Entwicklungssatz berechnest. Du benötigst dies an der Stelle, wo Du behauptest $\begin{eqnarray} (detB_1^{-1}...detB_r^{-1})^{-1}=det(B_1^{-1}...B_r^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ , denn Du hast bis dahin nur bewiesen : $\begin{eqnarray} det(A^{-1})=...=((detB_1)^{-1}...(detB_r)^{-1})^{-1} \end{eqnarray}$ , und nun fehlt der entscheidende Schritt ... $\begin{eqnarray} =(det(B_1^{-1})...det(B_r^{-1}))^{-1} \end{eqnarray}$ .
Anzeige

29.06.2015, 18:37	Nofeys	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau spricht dagegen, 1 = det(AA^(-1)) = det(A)det(A^(-1)) zu verwenden ? Das darf er doch benutzen, siehe Punkt 2).
29.06.2015, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. Wenn man das so interpretiert, dient der Hinweis auf die Elementarmatrizen nur der Verwirrung. Wenn man das so interpretiert, wie ich es gemacht habe, soll man die Elementarmatrizen im Beweis verwenden. Genau das hat Doof01 ja auch versucht, aber nicht ganz vollständig zu Ende gedacht.

1

Verwandte Themen