Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit |
01.07.2015, 11:28 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit mir fehlt zu einem Beweis noch der Ansatz. Es seien A,B zwei reelle und nilpotente (3x3)-Matrizen mit gleichem Nilpotenzindex. Nun soll daraus folgen, dass A und B ähnlich sind. Für den Index k kommen ja nur k=1,2 und 3 in Frage. Für k=1 ist es trivial, da A und B die Nullmatrix sind. Für k=3 habe ich einen Satz aus der Vorlesung benutzt, dass es eine invertierbare Matrix S und eine invertierbare Matrix R gibt, sodass und gilt, wobei J der Jordanblock der Größe 3 zum Eigenwert 0 ist. Nach Gleichsetzen der Gleichungen erhalte ich dann die invertierbare Matrix , sodass gilt. Aber für k=2 fehlt mir leider noch der Ansatz. Kann mir da jemand bitte helfen? Viele Grüße |
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01.07.2015, 11:42 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit Hallo, es gibt mehrere Ansätze dies zu zeigen. Du könntest zum Beispiel versuchen, das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom dieser Matrizen zu bestimmen. Du könntest auch mit der Gleichheit arbeiten. |
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01.07.2015, 12:17 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit Den Ansatz mit hatte ich auch, aber ich habe keine Idee, was man daraus folgern könnte. |
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01.07.2015, 12:20 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit
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01.07.2015, 12:31 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit Um ehrlich zu sein nicht wirklich. Wir hatten nämlich auch noch keine Sätze zum Minimalpolynom, bis auf die Tatsache, dass es das charakteristische Polynom teilt. |
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01.07.2015, 12:50 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Gleicher Nilpotenzindex => Ähnlichkeit Überleg dir auch mal, welche Eigenwerte mullpotente Matrizen haben. Habt ihr denn den Satz, dass zwei Matrizen genau dann ähnlich sind wenn ihre Jordannormalform gleich ist? |
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01.07.2015, 13:06 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nilpotente Matrizen haben den einzigen Eigenwert 0, das wissen wir. Den Satz hatten wir nicht, aber wir wissen. dass nilpotente Matrizen , wobei der Index gleich n ist, ähnlich sind zur Jordan-Normalform der Größe n zum Eigenwert 0. Das habe ich für den Fall k=3 auch benutzt, aber für k=2 kann man das nicht anwenden, schätze ich. |
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01.07.2015, 13:34 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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01.07.2015, 14:25 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist dann eben einfach nur die Jordan-Normalform . Ich weiß aber nicht, wie sie für k=2 aussehen sollte. |
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01.07.2015, 15:04 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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01.07.2015, 15:39 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Eigenwerte sind weiterhin Null, daher weiß ich nicht, inwiefern die Normalform anders aussehen sollte. Könnte höchstens sein, dass sie aus einem 2er und einem 1er Block besteht, also nur eine 1 auf der Nebendiagonalen hat. |
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01.07.2015, 15:56 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Am besten machst du jetzt noch eine vollständige Übersicht über die verschiedenen Jordannormalformen. |
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01.07.2015, 16:01 | qwertz235 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, danke für die ausführliche Hilfe. Viele Grüße |
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01.07.2015, 16:54 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
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