Normalverteilung

02.07.2015, 08:07

mathechell

Normalverteilung

Hallo

ich habe eine Frage zu einer Normalverteilungsaufgabe und zwar verstehe ich nicht warum P(U<125) ist und nicht P(U>125), da ja Fehler erst über 125 auftreten!
Danke schonmal im Voraus smile

Mit einem Laserdrucker können Papiere mit einem Gewicht von 60 bis 120 g/m² bedruckt werden. Übersteigt das Papiergewicht 125 g/m², sind Störungen beim Drucken zu erwarten. Das Papiergewicht ist eine normalverteilte Zufallsgröße.

Geben Sie die Ergebnisse als Prozentzahlen mit zwei Nachkommastellen und einem Punkt statt eines Kommas an!

a) Für einen Druckauftrag wird ein Papier verwendet, bei dem das mittlere Gewicht laut Hersteller 120 g/m² und die Standardabweichung 5 g/m² betragen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist bei Verwendung dieses Papiers mit Störungen beim Drucken zu rechnen?

b) Wie groß darf das mittlere Papiergewicht (bei gleichbleibender Varianz) höchstens sein, wenn Störungen beim Drucken mit 99%iger Sicherheit vermieden werden sollen?

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen

Sowie die Aufgabe auch unglücklich

Eine Firma verschickt Tee in Holzkisten mit jeweils 10 Teepackungen. Das Bruttogewicht der einzelnen Teepackungen sei normalverteilt mit ¼ =6 kg und der Standardabweichung Ã =0,06 kg. Das Gewicht der leeren Holzkiste sei normalverteilt mit dem Erwartungswert ¼ =5 kg und der Standardabweichung Ã =0,05 kg.

Geben Sie ein symmetrisch zum Erwartungswert liegendes Intervall an, in dem in 95% der Fälle das Bruttogewicht der versandfertigen Holzkiste (Y) liegen!

Geben Sie die Ergebnisse als Dezimalzahlen mit vier Nachkommastellen und einem Punkt statt eines Kommas an!

02.07.2015, 09:03

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zur Normalverteilung (Aufgabe)
Hallo,

ich bin grad in Eile, deswegen kann ich nur kurz auf deine erste Frage eingehen.

a) Nimm X als Zufallsvariable für das Papiergewicht. Dann ist X normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \mu=120 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=5 \end{eqnarray*}$ , d. h.
$\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal N(120,5) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du X so transformieren (Verschiebungssatz), dass du auf eine Standardnormalverteilung kommst und berechnest
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge 125)=1-\mathbb P(X\le125)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}{5}\le5\right) \end{eqnarray*}$
(X-120)/5 ist standardnormalverteilt. Dafür gibt es dann Tabellen.

b) Hier gehst du ähnlich ran, nur dass $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ unbekannt ist und ausgerechnet werden soll. Dafür kennst du schon die Wahrscheinlichkeit, die herauskommen soll.

Ich hoffe, ich habe im Stress keinen Fehler gebaut smile

02.07.2015, 09:42

mathechell

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zur Normalverteilung (Aufgabe)
okay danke, das habe ich auch gedacht, aber das ist die Lösung:

a) Für einen Druckauftrag wird ein Papier verwendet, bei dem das mittlere Gewicht laut Hersteller 120 g/m² und die Standardabweichung 5 g/m² betragen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist bei Verwendung dieses Papiers mit Störungen beim Drucken zu rechnen?

P(X≤125) = ¦[(125-120)/5] = ¦(1) = 84,13%.

b) Wie groß darf das mittlere Papiergewicht (bei gleichbleibender Varianz) höchstens sein, wenn Störungen beim Drucken mit 99%iger Sicherheit vermieden werden sollen?

¦[(125-¼)/5] = 0,99

[(125-¼/5)] = 2,33

¼ = 113,35 ≈ 113 g/m².

02.07.2015, 09:55

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zur Normalverteilung (Aufgabe)
Deine Formeln sind völlig unverständlich. Bei copy and paste bitte auf Lesbarkeit prüfen.

02.07.2015, 10:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Anmerkung

Zitat:

Original von Nullmenge
Dann ist X normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \mu=120 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma=5 \end{eqnarray*}$ , d. h. $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal N(120,5) \end{eqnarray*}$

Vereinbarungsgemäß spricht man ja eher von $\begin{align*} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{align*}$ , dem sollte man auch bei konkreten Werten konsequent Rechnung tragen. Im vorliegenden Fall heißt es demnach $\begin{align*} \mathcal{N}(120,5^2) = \mathcal{N}(120,25) \end{align*}$ .

02.07.2015, 10:06

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Anmerkung
Ok, werde ich in Zukunft so handhaben. Mir sind aber schon beide Varianten vorgekommen.

02.07.2015, 10:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann eben das, was man Inkonsequenz nennt: Schrecklich, jedesmal raten zu müssen, ob denn nun bei $\begin{align*} \mathcal{N}(10,4) \end{align*}$ der Wert 4 die Varianz oder die Standardabweichung ist.

02.07.2015, 12:11

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000
Ja, du hast Recht, kommt nicht wieder vor.

@mathechell
Ich glaube, mir ist da doch ein Fehler beim Normalisieren unterlaufen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge125)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}5\le\frac{125-120}5\right)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}5\le 1\right)=\Phi(1). \end{eqnarray*}$

Das dürfte wohl das sein, was bei dir

Zitat:

P(X≤125) = ¦[(125-120)/5] = ¦(1) = 84,13%.

ist.

Ich bevorzuge ja gern folgende (äquivalente) Schreibweise (mache ich seltener Fehler):
$\begin{eqnarray*} 1-\mathbb P(X\le125)=1-\mathcal N_{120,25}(-\infty,125)\overset{(\ast)}=1-\mathcal N_{0,1}\left(-\infty,\frac{125-120}5\right)=1-\mathcal N_{0,1}(-\infty,1)=\Phi(1) \end{eqnarray*}$

Beachte das, was HAL 9000 angemerkt hat: Man schreibt $\begin{eqnarray*} \mathcal N_{\mu,\sigma^2} \end{eqnarray*}$
Das Normalisieren in $\begin{eqnarray*} (\ast) \end{eqnarray*}$ müsste man auch für die linke Grenze machen. Nur bei minus unendlich macht das nix aus Augenzwinkern

b)
Wie gesagt, hier gehst du ähnlich heran, nur dass du $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht kennst und bestimmen sollst. Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge125)\overset{!}\le0,99 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} 1-\mathcal N_{\mu,25}(-\infty,125)=1-\mathcal N_{0,1}\left(-\infty,\frac{125-\mu}5\right)=1-\Phi\left(\frac{125-\mu}5\right)\overset{!}\le 0,99 \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} \Phi\left(\frac{125-\mu}5\right)\overset{!}\ge 0,01 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du nur noch in die Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung schauen und herausfinden, wann die Verteilungsfunktion größer als 0,01 wird. Damit weißt du, welchen Wert $\begin{eqnarray*} \frac{125-\mu}5 \end{eqnarray*}$ annimmt und durch Umstellen kommst du dann auf den Mittelwert.

Es kann sein, dass deine Verteilungstabelle erst bei $\begin{eqnarray*} \Phi(0,00)=0,5 \end{eqnarray*}$ anfängt. Dann nutze die Beziehung $\begin{eqnarray*} \Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{eqnarray*}$

02.07.2015, 15:16

mathechell

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Nullmenge smile

Allerdings würde ich gerne wissen, wie du auf Letzteres kommst, also ich verstehe den letzten Term nicht wie du von 1- P ( X-120/5 < 1) auf o (1) kommst

@mathechell
Ich glaube, mir ist da doch ein Fehler beim Normalisieren unterlaufen:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge125)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}5\le\frac{125-120}5\right)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}5\le 1\right)=\Phi(1). \end{eqnarray*}$

02.07.2015, 15:23

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

Den letzten Schritt siehst du wie folgt: Zum einen ist das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ gerade die (Standard-)Normalverteilung, zum anderen ist $\begin{eqnarray*} Y:=\frac{X-120}5 \end{eqnarray*}$ eine Standardnormalverteilte Zufallsvariable. Damit ist $\begin{eqnarray*} \mathbb P(Y\le 1)=F_Y(1)=\Phi(1) \end{eqnarray*}$ .

Dabei bezeichne $\begin{eqnarray*} F_Y(c):=\mathbb P(Y\le c) \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion von Y an der Stelle c. Und für die Standardnormalverteilung schreibt man statt $\begin{eqnarray*} F_Y(c) \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} \Phi(c) \end{eqnarray*}$ .

06.07.2015, 00:34

mathechell

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber 1-P müsste doch dann 0,16 sein und nicht 0.84 oder? weil 1-P(X>U) ist ja nicht 0,84?

06.07.2015, 00:40

Nullmenge

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dummer Fehler:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge125)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}5\le\frac{125-120}5\right)=1-\mathbb P\left(\frac{X-120}5\le 1\right)={\color{red}1-}\Phi(1)=1-0,84=0,16. \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Normalverteilung

Verwandte Themen