Volumen eines Rotationskörpers (Sektglas)

02.07.2015, 18:20

B-Man

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Volumen eines Rotationskörpers (Sektglas)

Meine Frage:
Liebe Community,

ich habe eine Frage zu einer Klausuraufgabe und wollte mich erkundingen ob dieser Lösungsweg stimmt. Ich wäre euch sehr dankbar wenn Ihr mir weiter helfen könnt.
Die Aufgabe lautet:

Ein Sektglas wird mit ca 2.094cm^3 (entspricht $\begin{eqnarray*} \pi * \frac{2}{3} cm^3 \end{eqnarray*}$ ) Sekt gefüllt. Wie hoch wird der Füllstand h?

Dabei ist r= 50mm und H = 100mm

Tipp: Formel für das Rot-Volumen (um die X-achse) : $\begin{eqnarray*} V=\pi *\int_{a}^{b} \! [f(x)]^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{r}{h} = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} <br /> <br /> V=\pi *\int_{0}^{h} \! [\frac{1}{2} (x)]^2 \, dx <br /> \pi *\frac{2}{3} \int_{0}^{h} \! [\frac{1}{2} (x)]^2 \, dx <br /> \frac{2}{3}=\pi * \int_{0}^{h} \! [\frac{1}{4} (x^2)] \, dx <br /> \frac{2}{3}=\frac{1}{4} * \pi * \int_{0}^{h} \! [ (x^2)] \, dx <br /> \frac{2}{3}=\frac{1}{4} * \pi * \int_{0}^{h} \! [\frac{1}{3} (x^3)] \, dx <br /> \frac{2}{3}=\frac{1}{12} * \pi * \int_{0}^{h} \! [(x^3)] \, dx <br /> \frac{2}{3}=\frac{1}{12} * \pi * \int_{0}^{h} \! [(x^3)] \, dx : \frac{1}{12}<br /> 8= \pi * \! [(h^3)-(0^3)] dx <br /> 8= \pi * \! [h^3] dx : 3. Wurzel<br /> 2= \pi * \! h <br /> h= 2\pi<br /> \end{eqnarray*}$

Vielen lieben Dank im Voraus

B-Man

02.07.2015, 19:04

Mathema

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Deine Notation ist teilweise furchtbar. Du fängst mit einer Gleichung an und in der zweiten Zeile ist das Gleichheitszeichen schon verschwunden.

Dann bildest du schon die Stammfunktion und trotzdem steht da noch dein Integralzeichen.

Und bei der letzen Umformung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2= \pi * \! h <br /><br /> h= 2\pi<br /><br /> \end{eqnarray*}$

kann man nur mit dem Kopf schütteln. unglücklich

unglücklich

Wieso das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ am Ende noch im Ergebnis steht, ist mir sowieso schleierhaft.

Dividierst du deine Gleichung im ersten Schritt dadurch, ergibt sich doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}\pi=\pi *\int_{0}^{h} \! [\frac{1}{2} (x)]^2 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}=\int_{0}^{h} \! [\frac{1}{2} (x)]^2 \, dx \end{eqnarray*}$

PS: Stammt diese Aufgabe wirklich aus einer Hochschulklausur?

02.07.2015, 19:15

Dopap

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nur nebenbei: 2ml Sekt (sieht man die ?) stehen 6cm hoch im Sektglas, da müsste man doch stutzig werden.

02.07.2015, 20:01

B-Man

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Vielen Dank für die schnellen Antworten!

Haha, tut mir leid wegen meiner grauenhaften Darstellung in der Klausur sieht das alles natürlich vernünftig aus Big Laugh

Big Laugh

Um deine Frage zu beantworten: Ja das war mal eine Klausuraufgabe und wer weiß vllt. kommt sie ja wieder dran und genau deswegen wollte ich wissen, abgesehen von der furchtbaren Nation und Umformung, ob die Lösung stimmt ? Also jetzt nicht die von mir dargestellten 2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ sonder nur h=2
Und ja der Lösungsweg sieht ein wenig merkwürdig aus. Ich weiß nicht warum ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$
in jedem Schritt mit genommen habe.

Meine Kommilitonen und ich sind uns da leider absolut nicht sicher wie der richtige Lösungsweg aussieht. Ich hab schon in verschiedenen Büchern nach geschaut und auch das Internet durchstöbert aber habe leider nichts änhliches gefunden. Andere Übungsaufgaben mit dem Rotationsvolumen sind kein Problem nur diese Aufgabe verwirrt mich ein wenig... unglücklich

unglücklich

Ich bin euch auf jeden fall sehr dankbar für eure Antworten! Freude

Freude

Lg
B-Man

Hammer

02.07.2015, 20:03

Mathema

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Bist du dir denn sicher, dass eine Gerade um die x-Achse rotieren soll? Bei einem Sektglas würde ich ja immer eher von einer Wurzelfunktion ausgehen.

02.07.2015, 20:07

B-Man

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Der Professor selbst hat diesen Tipp mit der Formel des Rotationsvolumen in der Klausur unter der Aufgabe angegeben dementsprechend denke ich, dass man die Formel auch nutzen soll.

Ich habe auch eine Musterlösung zu dieser Aufgabe und dort wird die Aufgabe auch mit der Formel des Rotationsvolumen gerechnet und das Ergebnis lautet h=2. Nur bin ich mir nicht sicher ob dies auch stimmt, denn ich hatte einige mal falsche Lösungen bekommen.

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02.07.2015, 20:12

Mathema

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f(x) ist eine Funktion, aber diese ist ja nicht festgelegt auf eine lineare Funktion. Und eine Wurzelfunktion erzeugt da eher ein Sektglas.

02.07.2015, 20:19

B-Man

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Aber wenn man das Sektglas auf die Seite legt kann man es um die X-Achse rotieren lassen und deswegen schien mir das ganz plausibel mit dem Rotationsvolumen... unglücklich

unglücklich

Diese Aufgabe macht mich schon die ganze Zeit verrückt Hammer

Hammer

Ich versuch mich nochmal zu erkundingen. Vielleicht finde ich ja was in einem Mathe-Buch (was ich bezweifel) oder jemand in der Hochschule kann mir erklären wie die Aufgabe gerechnet wird. (was ich auch bezweifel) Big Laugh

Big Laugh

Vielen Dank für deine Antworten Freude

Freude

02.07.2015, 20:27

Mathema

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Wir lassen doch auch rotieren, nur eine andere Funktion:

02.07.2015, 20:32

Bjoern1982

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Zitat:

Vielen Dank für deine Antworten.

In der Tat waren die Antworten von Mathema sehr hilfreich.
Nur hast du sie leider überhaupt nicht gerafft.
Das zeigt unter anderem dein ständiges Rumhacken und Wiederholen von "Rotationsvolumen".
Das ist natürlich absolut klar, dass man das hier benötigt.
Entscheidend ist halt (und darauf bist du an keiner Stelle trotz mehrfachen Erwähnens von mathema eingegangen), mit welcher Art von Funktion f(x) man hier arbeiten soll, denn das steht da nirgendwo in der Aufgabenstellung, gehört aber unbedingt dazu.
Oder mit anderen Worten, WAS sollen wir denn hier rotieren lassen...ein Stück Gerade (linear), ein Stück Graph einer Wurzelfunktion (eigentlich der Klassiker für Sektgläserformen), ein Stück des Graphen einer beschränkten Exponentialfunktion, ein Stück des Graphen einer entsprechend gestauchten bzw in der Periode passenden Sinusfunktion usw. - du siehst es gibt da theretisch etliche Möglichkeiten.
Das ist natürlich nicht deine Schuld, das ist eben - wenn es wirklch die Originalaufgabenstellung war - das Unvermögen des Aufgabenstellers.
Ebenso ein Indiz dieses Unvermögens ist übrigens auch der Kommentar von Dopap - ein Schelm, wer da denkt, dieser Aufgabensteller hat sich eigentlich nicht viel bei der Aufgabe gedacht. Engel

Engel

02.07.2015, 20:37

B-Man

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Du hast recht Bjoern1982 ich hab sie in der Tat nicht gerafft weil ich nicht genau wusste wie ich dann mit dieser Funktion umgehen soll. Diese dann auch einfach in Formel setzen und ausrechnen ?

Tur mir leid aber ich stehe gerade total auf dem Schlauch. Vielleicht liegt es an der Hitze LOL Hammer

LOL Hammer

02.07.2015, 20:42

Mathema

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Zitat:

Diese dann auch einfach in Formel setzen und ausrechnen ?

Natürlich - was denn sonst?

Nun gut - dem Bild nach soll denn wohl doch von einer linearen Funktion ausgegangen werden. Dazu passt denn auch die 2cm Musterlösung, welches (nach Dopaps Beitrag) mir aber immer noch viel zu hoch erscheint.

Sinnvoller wäre wohl mit meiner Wurzelfunktion zu arbeiten, die eine Höhe von 7,3mm als Lösung ausgibt.

Wink

Wink

02.07.2015, 20:45

B-Man

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Ok vielen lieben Dank nochmal für deine Hilfe!! Freude

Freude

Einen schönen abend noch Wink

Wink

02.07.2015, 20:47

Mathema

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Gern geschehen!

Dir auch einen schönen Abend.

Wink

Wink

edit: Wieso ist das Bild denn nun verschwunden? verwirrt

verwirrt

02.07.2015, 20:55

Bjoern1982

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Naja wenn man das so sieht, ist das ja eigentlich ein klassischer Fall für Kollege Strahlensatz bzw. Ähnlichkeit von Dreiecken - sprich eine Aufgabe aus Klasse 8 oder 9.
Leider hast du deine angehängte Datei nun wieder entfernt.
Schade, denn da stand ja eigentlich auch nichts von der Verwendung von Rotationsvolumen.
Wäre dann auch eigentlich sehr irreführend und umständlicher bei sowas mit Integralen zu arbeiten - zumal wie gesagt ja gar keine Funktionsart angegeben ist.

02.07.2015, 21:06

B-Man

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Die Datei ist wieder drin inkusive dem Vermerk vom Prof.

02.07.2015, 21:18

Mathema

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Danke dafür. Aber ich muss Björn Recht geben. Ein sehr merkwürdiger Tipp, wenn einfach von einem Kegel ausgegangen werden soll. Da ist die Integralrechnung doch nach dem Motto "mit Kanonen auf Spatzen schießen". Nach Strahlensatz gilt einfach:

$\begin{eqnarray*} \frac{h_{klein}^3}{h_{groß}^3}=\frac{V_{klein}}{V_{groß}} \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} h_{klein}=\sqrt[3]{\frac{10^3 \cdot \frac{2}{3}\pi}{\frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 10}}=2 \end{eqnarray*}$

Auch mit der Integralrechnung (z.B die Wurzelfunktion) ist es eigentlich eine typische Oberstufenaufgabe.

02.07.2015, 21:43

B-Man

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Ok also wird somit die Lösung dieser Aufgabe 2 lauten ?
Und nicht die von dir vorhin genannten 7,31 welches sich durch die Wurzelfunktion ergibt ?

02.07.2015, 21:49

Mathema

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Zitat:

Ok also wird somit die Lösung dieser Aufgabe 2 lauten ?

Laut Bild - ja. Du hast ja den Vergleich mit dem Graphen meiner Wurzelfunktion, ich hatte ihn dir ja extra hingemalt. Und da sieht das Bild der Aufgabe ja nun etwas anders aus und zeigt deutlich den Kegel. Über die Qualität dieser Aufgabenstellung hat Björn sich ja schon geäußert, da habe ich nichts mehr hinzuzufügen.

02.07.2015, 21:51

B-Man

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Gut dann hat sich die ganze Sache jetzt endlich erledigt.

Nochmals vielen lieben Dank und einen schönen Abend! Wink

Wink

Freude

02.07.2015, 21:56

Mathema

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Prima.

Und dir noch einmal nachträglich ein Willkommen

Willkommen

on (Mathe)Board.

smile

smile

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