Ordnung, Erzeuger, Gruppe

03.07.2015, 10:50

Malicious

Ordnung, Erzeuger, Gruppe

Meine Frage:
Hallo,
ich ne Frage, ich bin immer noch nicht dahinter gestiegen, wie ich au ?das Element komme? was die Gruppe erzeugt.

Ok 1. Bsp. $\begin{eqnarray*} G = (R_{6}, +) \end{eqnarray*}$ also Restklasse modulo 6 mit Addition besteht ja aus den Elementen{ $\begin{eqnarray*} 0,1,2,3,4,5 \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} Ord(G) = ord((R_{6}, +) )= 6 \end{eqnarray*}$ (Ordnung meiner Gruppe) und nun Ordnung meiner Elemente ord(g)
$\begin{eqnarray*} ord(0) = 1, ord(1) = 6, ord(2)= 3, ord(3)= 2, ord(4)= 3, ord(5)= 6 \end{eqnarray*}$ ,
woher weiß ich nun welches Element mein Erzeuger ist? Also ich suche ein g mit welchem ich meine anderen Elemente darstellen kann. Den Erzeuger?

Nun ein 2. Bsp. Die Einheitengruppe $\begin{eqnarray*} (R_{7}^{*}, *) \end{eqnarray*}$ ist zyklisch da 3 ein Erzeuger ist, woher weiß ich das denn?

mit $\begin{eqnarray*} g^{n} = e \end{eqnarray*}$ komme ich irgendwie auch nicht weiter -.-

Meine Ideen:
Ich hab bestimmt irgendwas vergessen oder so...kann mir bitte jemand kurz weiterhelfen

03.07.2015, 12:18

Mulder

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RE: Ordnung, Erzeuger, Gruppe
Die Ordnung eines solchen Erzeugers muss ja im endlichen Fall mit der Ordnung deiner Gruppe G, die es erzeugen soll, übereinstimmen. Da du die Ordnung von G kennst und auch schon die Ordnung der Elemente der Gruppe aufgeschrieben hast, sollte schon alles klar sein.

Im Übrigen gibt es im Allgemeinen nicht den Erzeuger - es kann auch mehrere davon geben.

Wenn so ein Element a z.B. nur die Ordnung 4 oder so hat, dann ist a^4=1 (mit 1 meine ich jetzt allgemein das neutrale Element, bei einer additiven Gruppe wäre es ja die 0). und es geht wieder von vorne los, also a^5=a usw. Das heißt, indem man a immer wieder mit sich selbst verknüpft, kriegt man nur vier verschiedene Elemente - dann kann a natürlich keine Gruppe der Ordnung 6 erzeugen - wie sollte das gehen?

Es gibt dann natürlich weitere Sätze dazu, so weit seid ihr vielleicht noch nicht. Bei Z/nZ zum Beispiel sind nur die Restklassen Erzeuger, die teilerfremd zu n sind. Das wird bei deinem ersten Beispiel auch passen. Schau es dir mal genau an.

03.07.2015, 14:24

Malicious

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Hallo,

aha "es gibt nicht nur den Erzeuger", das ist doch schon mal ein guter Hinweis, danke Big Laugh

Dann hast du gesagt "Die Ordnung eines solchen Erzeugers muss ja im endlichen Fall mit der Ordnung deiner Gruppe G"

sprich beim 1. Bsp hab ich ja gesagt $\begin{eqnarray*} ord(G) = 6 \end{eqnarray*}$ und die Elemente wo dann auch 6 rauskommt wären $\begin{eqnarray*} ord(1) = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ord(5)= 6 \end{eqnarray*}$ , d.h. {1,5} wären beide Erzeuger? Meinst du das so?

der letzte Satz von dir ist gut, merk ich mir ... aber ich bin gerad nervös, weil ich diese Begriffe auch ab und zu durcheinander bringe unglücklich

ok noch mal zum 2. Bsp

die Einheiten von $\begin{eqnarray*} (R_{7}, +, \odot ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \odot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 \odot 4 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \odot 5 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4 \odot 2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5 \odot 3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6 \odot 6 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow R_{7}^{*}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} 1,2,3,4,5,6 \end{eqnarray*}$ }

und dann ist ja 3 ein Erzeuger aber warum? Das hab ich nicht verstanden -.-

ok

$\begin{eqnarray*} 3=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \odot 3 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \odot 3 \odot 3= 6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \odot 3 \odot 3 \odot 3= 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \odot 3 \odot 3 \odot 3 \odot 3 = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \odot 3 \odot 3 \odot 3 \odot 3 \odot 3 = 1 \end{eqnarray*}$

So jetzt hab ich alle Elemente der Gruppe mit 3 erzeugt, aber warum ist es gerade die 3 in diesem Fall...? Ich hab nicht verstanden, was ich überprüfen muss um das "zyklische" Element 3 zu finden....

03.07.2015, 14:49

HAL 9000

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Es ist nicht nur die $\begin{align*} 3=3^1 \end{align*}$ , es ist auch $\begin{align*} 5=3^5 \end{align*}$ ein Erzeuger.

Zitat:

Original von Malicious
Ich hab nicht verstanden, was ich überprüfen muss um das "zyklische" Element 3 zu finden....

Na eben das:

Zitat:

Original von Malicious
So jetzt hab ich alle Elemente der Gruppe mit 3 erzeugt

D.h., dass die Potenzen dieses Elements sämtliche Gruppenelemente erzeugen!!! Auf 1,2,4,6 trifft dies nämlich nicht zu.

03.07.2015, 14:56

Malicious

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Hallo Hal,

em also hab ich das mit dem 1. Bsp richtig verstanden? wäre nett wenn das jemand bestätigt ... da bist du ja nicht drauf eingegangen...

Ich krieg einen Nervenzusammenbruch böse

zum 2. Bsp ... ja ich kann doch nicht in der Klausur sitzen und rumprobieren ... wenn ich probiere komme ich natürlich irgendwann auf die Lösung nach 10 Stunden ... gibt es einen effektiven/ optimalen/ effizienten Weg um dieses/ diesen blöden Erzeuger zu finden?

Das war von Anfang an meine Frage....

03.07.2015, 14:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
sprich beim 1. Bsp hab ich ja gesagt $\begin{eqnarray*} ord(G) = 6 \end{eqnarray*}$ und die Elemente wo dann auch 6 rauskommt wären $\begin{eqnarray*} ord(1) = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ord(5)= 6 \end{eqnarray*}$ , d.h. {1,5} wären beide Erzeuger?

Ja.

Zitat:

Original von Malicious
ich kann doch nicht in der Klausur sitzen und rumprobieren ...

Warum nicht? Und trag mal nicht so dick auf, bei diesem Mini-Beispiel ist das doch eins-fix-drei gefunden.

Eine zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{align*} n \end{align*}$ beinhaltet immerhin $\begin{align*} \varphi(n) \end{align*}$ Erzeuger. Speziell auf $\begin{align*} (R_p^*,*) \end{align*}$ (wie du es nennst) mit ungerader Primzahl $\begin{align*} p \end{align*}$ bezogen kann man ja schon mal mehrere Kandidaten ausschließen, z.B. die $\begin{align*} 1 \end{align*}$ , die $\begin{align*} p-1 \end{align*}$ sowie alle Quadrate ... das engt bei kleinem $\begin{align*} p \end{align*}$ den Kreis der Kandidaten schon ganz beachtlich ein.

03.07.2015, 15:43

Malicious

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ja ich bin aufgeregt und es sind 50 Grad ...

aha dankeee, das hatte ich gar nicht im Sinn, weil $\begin{eqnarray*} R_{7} \end{eqnarray*}$ d.h., die $\begin{eqnarray*} p= 7 \end{eqnarray*}$ ist ja ne ungerade Primzahl, deshalb kommen als Erzeuger { $\begin{eqnarray*} 2,4,6 \end{eqnarray*}$ } schon mal gar nicht in Frage...und die 1 auch nicht ... ok

Und dann läuft das doch für nen "geraden Index" analog? z.B. n= 8 oder so also z.B. $\begin{eqnarray*} (R_{8}, \oplus) \end{eqnarray*}$ dann würde ich ebend die unegraden Zahlen und n - 1 als Erzeuger ausschließen, und dann teste ich nur noch die geraden...

03.07.2015, 16:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Malicious
die $\begin{eqnarray*} p= 7 \end{eqnarray*}$ ist ja ne ungerade Primzahl, deshalb kommen als Erzeuger { $\begin{eqnarray*} 2,4,6 \end{eqnarray*}$ } schon mal gar nicht in Frage

Hmm, jetzt entwickelst du falsche Erklärungsmuster:

Es ist nicht zwingend, dass das erzeugende Element "ungerade" ist - das ist nur zufällig so mit 3,5 bei p=7.

Bei p=5 ist z.B. auch die 2 ein erzeugendes Element.

Und nochmal: Ich hatte von der multiplikativen Gruppe $\begin{align*} (R_p^*,*) \end{align*}$ gesprochen, dort ist es wesentlich schwieriger, ein erzeugendes Element zu finden als in der additiven Gruppe $\begin{align*} (R_n,+) \end{align*}$ :

In letzterer ist jede zur Gruppenordnung $\begin{align*} n \end{align*}$ teilerfremde Zahl $\begin{align*} k \end{align*}$ ein erzeugendes Element, insbesondere trifft dies immer auf $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ zu. Was dein Beispiel $\begin{align*} n=8 \end{align*}$ betrifft, da sind das die ungeraden Zahlen $\begin{align*} k \end{align*}$ , richtig.

Apropos teilerfremd, und damit zurück zu $\begin{align*} (R_p^*,*) \end{align*}$ : Ist $\begin{align*} g \end{align*}$ ein Erzeuger dieser Gruppe, dann ist auch $\begin{align*} g^k \end{align*}$ ein Erzeuger, sofern $\begin{align*} k \end{align*}$ und $\begin{align*} p-1 \end{align*}$ teilerfremd sind. Und mehr noch, man erwischt sämtliche Erzeuger durch derartige Potenzen $\begin{align*} g^k \end{align*}$ .

03.07.2015, 18:12

Malicious

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danke für deine Ausführung, ich sehe jetzt auch mein Pronlem... es sind die multiplikativen Gruppen... ich muss das verstehen

Also bei den additiven habe ich ja jetzt gelernt, dass wenn ich den/ die Erzeuuger such suche, dann sind das ebned die Elemente die mir liefern, wo die die ordnung der GRuppe gleich der Ordnung der einzelenen Elements/e sind/ ist.

Aber könnte ich das bei der multiplikativen genauso machen, weil dann hätte ich den Dreh raus...

ok, ich nehme folgende KOnstruktion $\begin{eqnarray*} G = (R_{7} \end{eqnarray*}$ \ { $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} , \odot ) \end{eqnarray*}$ also ne multipl.

ok die besteht dann aus den Elementen {1,2,3,4,5,6} dann ist ord(G) = 6

und jetzt die Ord der Elemente ord(g)

ord (1) = 1 , ord (2) = 3, ord (3) = 6, ord (4) = 3, ord (5) = 6, ord (6) = 2

kann ich jetzt nicht so vorgehen wie oben , dann hätte ich ja zwei Erzeuger unzwar g = 3 und g = 5 weil da auch 6 rauskommt genau wie die Mächtigkeit der Gruppe.

guck mal ich hab doch die {0} rausgenommen aus meiner Menge, was ich sehe ist ich bekomme die gleichen Erzeuger wie bei meinem 2. Bsp. und jetzt verstehe ich auch, dass du gesagt hast, dass die 5 auch ein Erzeuger sein muss...

Ist das jetzt ein guter Weg so?? Engel

Ok also ist der Plan immer die Ord der Gruppe finden und die Ord der Elemente und dann finde ich auch mein/e Erzeuger ...

03.07.2015, 22:52

Malicious

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N'abend ich hab jetzt endlich diesen Satz gefunden, der sagt im Prinzip genau das was du alles gesagt hast Hal, bei der Multiplikation ist es knifflig

DENN $\begin{eqnarray*} (Z/nZ \end{eqnarray*}$ \ { $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ }, $\begin{eqnarray*} \odot) \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine Gruppe ist, wenn n eine Primzahl ist.

Ok ich wollte das nur mit dem Satz beenden.

04.07.2015, 00:21

Mulder

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Wie ich das sehe, hast du nun einige deiner falschen Schlussfolgerungen selbst schon entdeckt. Darum gehe ich auf deinen vorletzten Post nicht mehr weiter ein. Scheint unnötig. Weitestgehend. Aber eines noch:

Zitat:

Original von Malicious
Also bei den additiven habe ich ja jetzt gelernt, dass wenn ich den/ die Erzeuuger such suche, dann sind das ebned die Elemente die mir liefern, wo die die ordnung der GRuppe gleich der Ordnung der einzelenen Elements/e sind/ ist.

Ich finde die Satzkonstruktion zwar etwas fragwürdig.

Aber dass die Ordnung eines Erzeugers gleich der Ordnung der Gruppe ist, das gilt immer (im endlichen Fall). Völlig egal, ob nun additiv, multiplikativ oder was auch immer da für eine Verknüpfung vorliegen mag. Das Prinzip bleibt das gleiche. Das hat damit nichts zu tun.

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