Rekursive Folge

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AliceD Auf diesen Beitrag antworten »
Rekursive Folge
Hey,

hab hier wieder so eine Sache bei der ich nich weiter komme .
Die Aufgabe:

Die Folge sei rekursiv definiert durch: .

a) Durch Induktion ist zu zeigen: .

b) Zu zeigen: . Und induktiv soll geschlossen werden dass die Folge monoton wachsend ist

c)Man soll die Konvergenz folgern und den Grenzwert bestimmen.

So:

a) War kein Problem.

b) Da hänge ich nun, und bin nur bis hierher gekommen: .

c) Es ist klar, dass die Folge konvergieren muss, da beschränkt und "voraussichtlich" monoton wachsend. Der Grenzwert existiert also. Weiter habe ich mich hiermit aber noch nicht beschäftigt wegen Teil b).

Über einen Hinweis wäre ich dankbar smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

setz mal für auch für die Definition ein.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre das ja mit zwei Schritten erledigt oder?

D.h: .

Richtig? Aber zählt das dann nicht nur für n größer/gleich 2?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Richtig?
Natürlich.
Zitat:
Aber zählt das dann nicht nur für n größer/gleich 2?
Ja, und wo ist da das Problem?
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Problem gibt es da nicht, habe ich mich halt lediglich gefragt, aber für n=1 hat
man das Folgeglied ja sowieso schon per definition.
Dann noch zu der Monotonie, "induktiv schließen" bedeutet doch wieder Vollständige Induktion, also schließe ich im IA) a_n <= a_n+1 und dann im IS) a_n+1<=a_n+2 oder?
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Noch was. Welchem Zweck dient es denn bezogen auf die komplette Aufgabe, die Gleichung in b.) zu zeigen? Ich seh leider nicht wo das irgendwie relevant sein könnte
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
na das ist doch klar: Augenzwinkern
wenn die folge monoton steigend ist, ist a_{n+1} dividiert duch a_n grösser als 1,
und dann ist auch das quadrat von dem bruch >1, und dann muss der bruch
auf der rechten seite ja auch grösser als 1 sein, und das geht nur wenn...
gruss ollie3
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a_n > a_n-1 würde ich sagen smile .
Hat man also damit schon die Monotonie?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ja, denn jetzt kann man die induktion darauf aufbauen: aus a_n > a_n-1 folgt also
a_{n+1} >a_n , und den induktionsanfang a_2 > a_1 kann man direkt ausrechnen,
und schon ist die sache fertig Augenzwinkern
gruss ollie3
Nofeys Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Noch was. Welchem Zweck dient es denn bezogen auf die komplette Aufgabe, die Gleichung in b.) zu zeigen? Ich seh leider nicht wo das irgendwie relevant sein könnte


Die Frage ist aber schon berechtigt. Die Monotonie folgt noch direkter als mit b) induktiv durch aus der Monotonie der Wurzel, welche in dem anderen Ansatz ebenso gebraucht wird.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also wenn ich jetzt per Induktion gezeigt hätte, dass aus a_{n+1} >= a_{n} folgt, a_{n+2} >= a_{n+1}, wäre das dann falsch? Weil ich ja eigentlich zeigen muss was ollie3 gesagt hat.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nofeys


Die Monotonie folgt noch direkter als mit b) induktiv durch aus der Monotonie der Wurzel, welche in dem anderen Ansatz ebenso gebraucht wird.


Das ist bei der Induktion doch dann genau der IS) richtig? smile
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch zu c.).
Also, wie gesagt folgt aus der Beschränktheit und Monotonie das die Folge konvergiert.
Bestimmung des GW:

Sei .
Dann gilt doch :

, wenn n jetzt gegen unendlich läuft folgt doch .

Dann muss ich das doch nur noch nach L auflösen und hätte den GW richtig?
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Kann da niemand etwas zu sagen? unglücklich
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich habe mir jetzt nur deine letzten beiden Beiträge angesehen. Das, was darin steht stimmt. Waren sonst noch Fragen offen?

Du müsstest vielleicht noch begründen, dass man den Grenzwert unter die Wurzel ziehen kann, also dass Grenzwert der Wurzel gleich Wurzel des Grenzwerts. Hattet ihr das schon ?
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ja das hatten wir schon =).
Ok, gut aber ich habe ehrlich gesagt Probleme diese Gleichung zu lösen.
Der GW müsste doch zwischen 1 und 2 liegen wegen der Beschränktheit und wegen der Monotonie müsste der GW doch dann 2 sein oder?

Finde irgendwie keine Lösung für das GLS, weil 2 löst es ja nicht. Oder ich sehs nicht
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AliceD
.

Du hast Probleme, das zu lösen? Quadriere doch erstmal, dann entsteht eine quadratische Gleichung, die du (hoffentlich) lösen kannst.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, quadriert hab ichs natürlich schon.
Dann hab ich

Dann kann ich pq-Formel oder quadratisch ergänzen schätze ich?
Mit beidem habe ich schon länger nichts mehr gemacht, deswegen frage ich so doof.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst jetzt nicht nachfragen, welches Verfahren zur Lösung der quadratischen Gleichung du anwenden kannst - ist völlig egal, Hauptsache irgendeins.
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, dann versuch ich das mal noch smile
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bekomm ich aber zwei Werte für L.
Aber wegen der Eindeutigkeit des GW kann es nur einen geben.
Wie ist das denn dann?
Spielt da die Beschränktheit eine Rolle?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AliceD
Dann bekomm ich aber zwei Werte für L.

Herrje, diese ewige Rumdiskutiererei um ungelegte Eier. Rechne doch mal die beiden aus!!! Einem davon sieht man sofort an, dass er nicht der Grenzwert sein kann. Forum Kloppe
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich ja.
-0,6 und 1,6.
Der erste kann es ja nicht sein wegen Teil a.).

War mir jetzt nur unsicher, wegen den zwei Werten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na bitte, bleibt nur die andere. Zudem ist der negative Wert zwar Lösung der quadratischen Gleichung, nicht aber der eigentlich interessierenden Gleichung .
AliceD Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch wieder wahr, danke schön smile
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