Trapez als Tangentenviereck

04.07.2015, 11:54	Samyyy	Auf diesen Beitrag antworten »
Trapez als Tangentenviereck Hallo, sei ein Trapez $\begin{eqnarray} ABCD \end{eqnarray}$ gegeben mit $\begin{eqnarray} AB\|\| DC \end{eqnarray}$ , welches ein Tangentenviereck zu einem Kreis K mit Mittelpunkt M ist. Ich möchte gerne zeigen, dass der Winkel $\begin{eqnarray} \phi:=\angle (BMC) \end{eqnarray}$ ein rechter Winkel ist. Als erstes habe ich ein paar weitere Strecken eingezeichnet: Man zeichne die Parallele zu BC durch den Mittelpunkt M und das Lot von M auf BC mit Lotfußpunkt F. Setze für die Winkel $\begin{eqnarray} \tau:=\angle(MBC), \delta:=\angle(MCB) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \phi_1:=\angle (BMF),\phi_2:=\angle (FMC) \end{eqnarray}$ . Dann erhält man 1) $\begin{eqnarray} \phi_1+\tau=\pi/2 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} \phi_2+\delta=\pi/2 \end{eqnarray}$ Aber ich komme leider nicht weiter. Kann mir jemand helfen?
04.07.2015, 13:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Winkel $\begin{align} MBA \end{align}$ hat ebenfalls die Größe $\begin{align} \tau \end{align}$ und der Winkel $\begin{align} DCM \end{align}$ ebenfalls die Größe $\begin{align} \delta \end{align}$ (beachte die Tangenten von $\begin{align} B \end{align}$ bzw. $\begin{align} C \end{align}$ aus an den Kreis). Der Nebenwinkel des Winkels $\begin{align} CBA \end{align}$ hat die Größe $\begin{align} 2 \delta \end{align}$ (Wechselwinkel, da $\begin{align} AB \end{align}$ und $\begin{align} DC \end{align}$ parallel sind). Jetzt ergibt sich auf einfache Weise ein Zusammenhang zwischen $\begin{align} \tau \end{align}$ und $\begin{align} \delta \end{align}$ .

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