Wahrscheinlichkeit Ansatzproblem

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Erzi Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit Ansatzproblem
Meine Frage:
Hallo zusammen. Mir fehlt der Ansatz bzw. das Verständnis einer Wahrscheinlichkeits-Aufgabe.

Die Eff ektivität eines Bildverarbeitungssystems zur Verkehrszeichenerkennung beträgt 95%, d.h. es erkennt durchschnittlich 95 von 100 Zeichen richtig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 zufallig ausgewählten Verkehrszeichen
(a) keines falsch erkannt wird?
(b) mindestens 28 richtig erkannt werden?
(c) Welche Verbesserung der Eff ektivitat muss erreicht werden, damit die Wahrscheinlichkeit
(a) auf 40% gesteigert werden kann?

Meine Ideen:
Wie die Wahrscheinlichkeiten grundsätzlich zu berechnen sind weiß ich, jedoch macht mir das 95 von 100 Verkehrszeichen und die 30 zufällig ausgewählten Verkehrszeichen Probleme.

Ist mein Erwartungswert dann 95/100? und wie bringe ich die 30 "Ziehungen" mit in die Rechnung ein?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal sollte ja geklärt werden, mit welcher Wahrscheinlichkeitsverteilung man hier arbeiten möchte.
Hast du dich da schon entschieden ?
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mir nicht sicher, aber ich tippe auf eine Binomialverteilung
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich auch zu tendieren, denn wir haben ja mit 95/100=0,95 eine statistisch ermittelte und damit hier für jedes Ergebnis gleich bleibende Trefferwahrscheinlichkeit p (nicht Erwartungswert, der lautet hier ja n*p), so wie n=30 als Länge der entsprechenden Bernoullikette.

Zitat:
(c) Welche Verbesserung der Eff ektivitat muss erreicht werden, damit die Wahrscheinlichkeit
(a) auf 40% gesteigert werden kann?


Der geneigte Leser fragt sich, um welche Wahrscheinlichkeit es hier wohl gehen mag. verwirrt
geneigter Leser Auf diesen Beitrag antworten »

Es kann nur darum m.M.n. gehen, dass dei WKT , dass kein Zeichen (Aufgabe a) falsch erkannt wird, auf 40% steigen soll.
Das Ergebnis aus a ) lautet: 21,46 %

Diesen Wert kann man algebraisch nicht ermitteln, wenn man mit der Binomialverteilung arbeitet.
Man muss ihn in einem Tabellenwerk nachschlagen oder kann ihn durch Probieren leicht finden:

http//www arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

also die 21,46 % sind korrekt, das soll rauskommen.

bei b) sollen 81,21 % und bei c) p=0,9699 bzw. 0,97 oder 97/100 die Lösung sein

Ich werde mal mit der Normalverteilung heran gehen. Ich habe auch als Hilfe die Tabelle der Standardnormal-Verteilung da.
Jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich die Trefferquote von 95% und die 30 Ziehungen mit "verwursteln" soll verwirrt
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann bezog sich c) also auf das Ergebnis aus a).
Algebraisch ist das dann jedoch in der Tat zu lösen, und zwar sehr sehr einfach ---->
geneigter Leser Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, Bjoern. ich hatte übersehen, dass in der Bernoulli-Formel hier einiges zu 1 wird und nur
p^30 übrigbleibt. smile
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

das Ergebnis aus Teilaufgabe c) leuchtet mir ein. Allerdings weiß ich nicht wie ich an Teilaufgabe a) bzw. b) herangehen soll unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja mit der Formel zur Binomialverteilung halt.
Bei a) kannst du statt "keines falsch" eben auch "alle richtig" sagen, damit du bei der Trefferwahrscheinlichkeit p=0,95 bleiben kannst.
Der Rest ist nur einsetzen und ausrechnen.
Wo klemmt es denn genau ?
geneigter Leser Auf diesen Beitrag antworten »

PS:

Ich sehe gerade, dass bei Aufgabe c) die Aufgabe a) erwähnt wird, wenn auch etwas verwirrend "(a)". smile
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie steh ich auf dem Schlauch, was ich für n,k und p einsetzen muss.

n=30 p=0,95 und k=0 bei Teilaufgabe a), stimmt das?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du p=0,95 nimmst, dich also auf "richtig" als Treffer beziehst, dann musst du auch k=30 (also alle richtig) nehmen.
Wenn du p=0,05 nimmst, dich entsprechend also auf "falsch" beziehst, dann musst du k=0 (also keines falsch) nehmen.
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das war mein Denkfehler...

also stimmt dann ie Gleichung



für Teilaufgabe a)?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein (warum sage ich jetzt nicht, das steht nämlich bereits da).

Übrigens kann man bei solchen Aufgaben (übrigens ebenso auch bei c)) auch etwas über den Tellerrand hinausschauen und gar nicht unbedingt stur diese Binomialformel nutzen.
Im Endeffekt geht es bei a) doch nur darum, mit welcher Warscheinlichkeit alle 30 Zeichen richtig erkannt werden.
Das entspricht (wenn man z.B. ein vereinfachtes Baumdiagramm vor Augen hat) doch einfach nur
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt, bei a) funktioniert das so. Aber bei Teilaufgabe b) kommt man ja nicht drum rum die Formel anzuwenden, oder?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Theoretisch - und das sollte man sich vielleicht auch mal klar machen - kommt man da immer drum herum.
Entscheidend ist, dass man irgendwann einfach aus praktischen Gründen, Gott sei Dank, diese Formel zur Verfügung hat.
Denn freundlicherweise zählt der Binomialkoeffizient , wie viele Möglichkeiten es eben gibt diese k Treffer auf die n Stellen zu verteilen bzw. anzuordnen oder mit anderen Worten zählt er alle in Frage kommenden Pfade in einem entsprechenden Baumdiagramm, und das ist eben bei relativ hohen Zahlen für n dann irgendwann einfach eine sehr willkommende, praktische Erleichterung.
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, jetzt weiß ich was der Binomialkoeffizient ist und wofür er da ist. Wusste ich bisher nicht.
Sonst müsste ich bei b) 28 Pfade aufstellen? Und um das zu vermeiden, setze ich vor der Gleichung? Allerdings komme ich nicht auf die 81,21 % unglücklich
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mindestens 28 Zeichen richtig, heißt ja entweder 28, 29 oder alle 30.
Fehlen also noch 2 Wahrscheinlichkeiten, die man dann dazu addieren muss.

(Und nicht 28 Pfade sondern 30 über 28 Pfade)
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

genau, das hatte ich mir bereits überlegt. Die 3 Wahrscheinlichkeiten addiere ich un habe dann das Ergebnis für die Wahrscheinlichkeit, das min. 28 Zeichen erkannt werden. Jedoch komme ich nur bei div. online Rechnern auf die Ergebnisse, nicht jedoch wenn ich sie mit meinem Taschenrechner nachrechne
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Da Björn jetzt nicht ON ist:

Zur Kontrolle:
Die Einzelwahrscheinlichkeiten lauten:

X=28: 0,25864
X=29: 0,33890
X=30: 0,21464
---------------------
Summe: 0,81218

Kannst du das jetzt kontrollieren?
Welche Hilsmittel für den Technologieeinsatz stehen dir zur Verfügung?

mY+
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einen Texas Instruments CAS nSpire Taschenrechner.

Da scheitere ich gerade wie ich die Formel für die Binomialverteilung eingeben soll. Bzw. wenn ich sie eingebe, komme ich auf die falschen Ergebnisse.

Wenn ich sie aber hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...verteilung1.htm

ausrechnen lasse wird das richtige angezeigt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz verstehe ich dein Problem nicht.
Im Prinzip musst du nur die hohen Potenzen von 0,95 richtig bzw. möglichst genau ausrechnen.

[30 über 2 ist 29 * 15]



[Das hatten wir ja schon]

Woran scheitert es nun?

mY+

Edit:

Übrigens hat dein TR alle statistischen Funktionen an Bord, du könntest also die Binomialkoeffizienten dort direkt berechnen.
Ausserdem gibt es dort auch die Funktionen binomCdf(), binomPdf(), normCdf(), normPdf(), .., (das C steht für Cumulated, kumuliert, also bereits die berechnete Summe,)
nur um einige zu nennen.

Natürlich hat die manuelle Berechnung auch ihre Vorteile, mehr Initiative und Formelkenntnisse sind beim Anwender gefragt.
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

´Danke, jetzt hab ich. Ich habe immer im Menü des Taschenrechners den falschen Befehl für Binomialkoeffizienten genommen. Demzufolge kam ich nicht auf das Ergebnis. Aber jetzt hat es funktioniert und es passt.

Danke für die Hilfe!!!! Freude
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Ich dachte schon, dass es nur an einer Kleinigkeit gelegen sein könnte.

Übrigens hat dein TR alle statistischen Funktionen an Bord, du könntest also die Binomialkoeffizienten dort direkt berechnen.
Ausserdem gibt es dort auch die Funktionen binomCdf(), binomPdf(), normCdf(), normPdf(), .., (das C steht für Cumulated, kumuliert, also bereits die berechnete Summe,)
nur um einige zu nennen.

Natürlich hat die manuelle Berechnung auch ihre Vorteile, mehr Initiative und Formelkenntnisse sind beim Anwender gefragt.

mY+
Erzi Auf diesen Beitrag antworten »

ja in der Klausur welche ich ablegen muss wird viel Wert auf den Rechenweg gelegt. Das mein Taschenrechner das ausrechnen kann wusste ich, auch wenn ich nicht wusste wie genau man das bedient. Aber die Funktionen werde ich als Kontrolle nutzen um zu schauen, ob mein rechenweg richtig war Wink
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