Allgemeine Lsg für untypische Diff-Glg gesucht

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04.07.2015, 17:37	snoopy2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Lsg für untypische Diff-Glg gesucht Hallo Forum, wir haben in Mathe gerade mit Differenzialgleichungen angefangen und trotz diverser Lehrbücher, die mir hier zur Seite liegen, bin ich mit der Hausaufgabe gerade ziemlich überfordert: Gesucht wird die allgemeine Lösung der folgenden Diff-Glg., sowie eine kurze Erläuterung des Vorgehens (Art der Diff-Glg und Lösungsansatz): y' + cos (x/2) * (y+3) = 0 Es ist kein Anfangswert gegeben. Als Art glaube ich eine lineare, inhomogene Diff-Glg erster Ordnung zu identifizieren. Ganz sicher bin ich mir mit dem inhomogen aber nicht. Dachte erst, das wäre eine homogene und hab eine Trennung der Variablen versucht. Da kam ich dann nach Integration beider Seiten auf: y² + 6y = -4* sin (x/2) + 4c Leider lässt sich das aber nicht nach y umstellen. Also wieder in's Buch geguckt und da les' ich, dass es auch inhomogene Diff-Glgn. gibt, die mit einer so genannten Variation der Konstanten gelöst werden. Dazu muss aber dummerweise die Grundform y' (x) = h(x) * y(x) + f(x) vorliegen. Tja, das scheint nur leider nicht der Fall zu sein. Durch Umstellung der Aufgabe erhalte ich: y' = -cos (x/2) - 3cos (x/2) und durch Ausklammern: y' = -y cos (x/2) - 3 * cos (x/2) Dann war meine Überlegung, dass h(x) der typischen inhomogenen Gleichung = -cos (x/2) sein könnte und f(x) = 3 * h(x) Irgendwie sieht mir das aber nach Murks aus und ich weiß nicht, ob ich damit dann nach dieser Methode (der Variation von Konstanten) auch tatsächlich weiterrechnen kann oder sollte. Ich bitte daher dringend um eine Wegweisung. Ich weiß nichtmal, ob ich hier im Buch gerade in das richtige Kapitel gucke.
04.07.2015, 17:46	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Lsg für untypische Diff-Glg gesucht Das funktioniert mit Trennung der Variablen. y'=dy/dx Bringe alls mit x auf die eine Seite , alles mit y auf die andere Seite. Du solltest an diese Stelle gelangen: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y+3} = -cos(\frac{x}{2}) dx \end{eqnarray}$
04.07.2015, 17:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Lsg für untypische Diff-Glg gesucht Trennung der Variablen ist schon in Ordnung. Anscheinend hast Du Dich dabei aber verrechnet, denn es kommt eine direkt berechenbare e-Funktion heraus. Welche beiden Funktionen hast Du denn integriert? EDIT: zu langsam, daher bin ich raus.
04.07.2015, 20:20	snoopy2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Das klappt. Hatte einen Fehler beim Umstellen (ganz am Anfang). Statt durch (y+3) zu teilen, hatte ich auf der linken Seite damit multipliziert. Raus hab ich jetzt: $\begin{eqnarray} y=-3+e^{-2\cdot sin (\frac{1}{2}x) + c} \end{eqnarray}$ Versteh' ich das richtig, dass die Gleichung damit homogen war oder hatte ich eine inhomogene Diff-Glg, bei der das per Zufall doch durch Trennung der Variablen ging?
04.07.2015, 21:08	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
das Ergbnis stimmt. Man setzt noch $\begin{eqnarray} e^{c} \end{eqnarray}$ =C in der Praxis. Eine lineare DGL n-ter Ordnung heißt homogen, wenn die sogenannte Störfunktion identisch verschwindet, d.h. Im anderen Fall heißt die DGL inhomogen. Diese DGL Gleichung kannst Du sowohl mit Trennung der Variablen als auch mit Variation der Konstanten lösen. Wenn du den Ausdruck mit dem Cos ausmultiplizierst und dann 3 cos(x(2) nach rechts bringst , hast Du ja eine Störfunktion und damit eine inhomogene DGL:
05.07.2015, 21:14	snoopy2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Hab das C aber lieber doch im Exponenten gelassen, weil ich mir bei der korrekten Umwandlung unsicher bin: $\begin{eqnarray} y=-3+e^{-2\cdot sin(\frac{1}{2}x)+c} \\ \Leftrightarrow y=-3+e^{-2\cdot sin(\frac{1}{2}x)} \cdot e^{c} \end{eqnarray}$ Ich müsste dann ja irgendwie die Multiplikation am Ende durch eine Addition ersetzen... Hab hier leider noch so eine Aufgabe, bei der ich jetzt wieder nicht weiter weiß: $\begin{eqnarray} y'-\frac{2}{x} \cdot y = 12x^{4} - 5x^{2} \end{eqnarray}$ Als Typ glaube ich eine inhomogene lineare Diff-Glg erster Ordnung zu erkennen. Stimmt das? Die zugeordnete homogene Diff-Glg wäre dann $\begin{eqnarray} y'-\frac{2}{x} \cdot y = 0 \end{eqnarray}$ Ich komme darauf, weil es laut Buch diesen Grundtyp $\begin{eqnarray} y'+ a(x) \cdot y = f(x) \end{eqnarray}$ gibt und der wäre eine inhomogene Diff-Glg erster Ordnung, mit dem Störglied auf der rechten Seite (also 12x^4 - 5x²). -2/xy halte ich also für a(x). Keine Ahnung, ob man das so sehen darf. Das Buch löst in dem Fall mit einer "Variation der Konstanten", die ich leider nicht verstehe. Die klatschen da einfach einen Lösungsterm hin, ohne das Verfahren zu erläutern. $\begin{eqnarray} y_{h}(x)= c\cdot e^{-A(x)} ,c \in R \end{eqnarray*}$ Wobei A(x) wohl die Stammfkt von a(x) ist. Was ich mit der zugordneten homogenen Gleichung jetzt soll und was die neuen Variablen sollen, bleibt im Dunkeln. Buch Nummer zwei und drei kriegt's leider auch nicht auf Deutsch hin. Wie lös' ich das Ding jetzt?
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05.07.2015, 21:30	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Typ glaube ich eine inhomogene lineare Diff-Glg erster Ordnung zu erkennen. Stimmt das? Ja Ja diese DGL löst du durch Variation der Konstanten. Wenn Du sowas noch nie hattest, schau Dir dieses Video an: Es gibt 2 Möglichleiten: a) Setzte C= C(x) b) durch die Lösungsformel https://www.youtube.com/watch?v=w5nYkbK5smQ
05.07.2015, 21:51	snoopy2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, danke schonmal. Youtube hab ich inzwischen auch gefunden, allerdings ein anderes Video. Meld' mich nochmal, wenn ich damit durch bin. Edit: Achso...fast vergessen...wie ist denn das mit dem e^c, was ich zuvor geschrieben habe? Hab das hier beim mitrechnen ständig, dass da zum Beispiel steht: $\begin{eqnarray} y_{h}= c(x)\cdot x^{2} \cdot e^{c} \end{eqnarray}$ weil im Exponenten von e ja integriert wurde. Wie form ich das fehlerfrei um, dass da dann steht: $\begin{eqnarray} y_{h}= c(x)\cdot (x^{2} + c) \end{eqnarray}$
05.07.2015, 22:03	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast schließlich: ln\|y\| = 2 ln\|x\| +C $\begin{eqnarray} y= e^{ln(x^2+c)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= x^2 e^c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_{h} = x^2C \end{eqnarray}$ Man setzt in der Praxis e^c=C Setzte C=C(x) $\begin{eqnarray} y= C(x) x^2 \end{eqnarray*}$
05.07.2015, 23:49	snoopy2015	Auf diesen Beitrag antworten »
yo, da bleibt aber ein mal und kein plus. Hab die Aufgabe inzwischen mal nach Video-Vorlage durchgerechnet. Hoffe, ich hab da keine Fehler reingemacht. Kam ziemlich durcheinander mit den ganzen "Zwischen-Cs", die beim Integrieren vorkommen und irgendwie zusammengefasst werden müssen. Meine vorläufig Lösung: y(x)=4x^5 - (5/2)x^4 + 2x^2 c Kommt das wenigstens von der Form hin? Ich meine, sehen so Lösungen nach der Methode der Variation mit Konstanten aus? In dem verlinkten Video ist das C auch als Faktor am Ende, genau wie bei mir jetzt.
06.07.2015, 08:41	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
nein , das Ergebnis stimmt leider nicht. Hier der weitere Weg: Y_h= C x^2 y_p = C(x) x^2 y_p'= C'(x) x^2 +C(x) 2x dann y und y' in die Aufgabe einsetzen. (C(x) muß sich kürzen lassen) Ermittlung von C'(x) durch Integration Einsetzen von C(x) in die part- Lösung Y=Y_h +Y_p
11.07.2015, 15:12	snoopy2015	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, inzwischen musste ich die Hausaufgabe abgeben und hab die Antwort nicht mehr rechtzeitig gesehen. Ich will das jetzt nicht mehr nachrechnen, weil ich mich dann nur ärgern würde, dass ich die richtige Aufgabe nicht nachreichen kann. Trotzdem vielen Dank. So grob vom angucken: Ich glaube, ich hab das eigentlich gemacht, mit dem Einsetzen in die Anfangsaufgabe. Weiß aber gerade nicht was mit Y_p gemeint ist. Dass sich da irgendein Teil-Term wegkürzen ließ hatte ich auch. Werd mich sicher nochmal melden. Nur will ich diese Aufgabe vor der Hausaufgaben-Rückgabe wirklich nicht nachrechnen.

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