Stetigkeit über Partielle Ableitung zweiter Ordnung

04.07.2015, 18:45

mathezero000

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Stetigkeit über Partielle Ableitung zweiter Ordnung

Meine Frage:
Ich habe hier eine Funktion, die da ist:
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=xy \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, (x,y) \neq (0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=0, (x,y)=(0,0) <br /> \end{eqnarray*}$
Ich sollte die partiellen Ableitungen errechnen, also
$\begin{eqnarray*} f_{x}, f_{y}, f_{xy}, f_{yx} \end{eqnarray*}$
Das habe ich getan, die Ergebnisse schreibe ich mal nicht auf, diese sollten richtig sein.
Nun soll ich aus
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f_{xy}(x,0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} f_{xy}(0,y) \end{eqnarray*}$
schließen, dass alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung stetig sind, woraus man folgern soll, dass $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ergebnisse:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f_{xy}(x,0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} f_{xy}(0,y)=-1 \end{eqnarray*}$
Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ , wenn die Ableitungen zweiter Ordnung stetig sind.
Nun erschließt mir nicht der Zusammenhang. Offenbar hat der Limes etwas mit der Stetigkeit zu tun, nur was muss ich tun?
Falls ihr $\begin{eqnarray*} f_{x}, f_{y}, f_{xy}, f_{yx} \end{eqnarray*}$ braucht, würde ich Fotos machen, weil die Ergebnisse für mich doch zu lang, zum aufschreiben sind.

Danke im Voraus!

05.07.2015, 12:18

mathezero000

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Hat keiner eine Idee? Oder ist nicht klar, was gemeint ist?
Ich finde in meinen Unterlagen nicht, was der Limes mir hier in dem Fall sagt (also ein mal mit x=0, y->0 und y=0, x->0).

Ich habe nachgerechnet: $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$

Somit denke ich, dass die Limes zeigen, dass die Partiellen Ableitungen stetig sind, nur wieso?

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

05.07.2015, 13:51

Guppi12

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Hallo,

kannst du bitte einmal die Aufgabenstellung im Originalwortlaut wiedergeben? Das macht alles nicht so wirklich Sinn. (Zum Beispiel sollst du Stetigkeit nachweisen, wo keine vorliegt !? Steht da nicht eher sowas wie 'Überprüfen sie, ob ... stetig ist' oder so?)

eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: U \to V \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig in $\begin{eqnarray*} z_0\in U \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to z_0}f(z) = f(z_0) \end{eqnarray*}$ .

Das ist also der Zusammenhang zwischen Grenzwerten und Stetigkeit, den du suchst.
Widerspricht nun nicht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f_{xy}(x,0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} f_{xy}(0,y)=-1 \end{eqnarray*}$

irgendwie der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ? Denn einerseits müsste ja dann $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0) = 1 \end{eqnarray*}$ und andererseits $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0) = -1 \end{eqnarray*}$ gelten.

05.07.2015, 14:06

mathezero000

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Danke für deine Antwort!

Also:
a) Bestimmung der partiellen Ableitungen erster Ordnung für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq(0,0) \end{eqnarray*}$
b) Bestimmung von $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ , die partielle Differenzierbarkeit erster Ordnung kann als gegeben vorausgesetzt werden.
c) Bestimmung von Lim, wie ich es vorher schon geschrieben habe.
Sind alle partiellen Ableitungen der Ordnung 2 stetig? Hätte die Berechnung von $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ ausgereicht und $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ zu folgern?

Da mir die Limes hier nicht wirklich viel sagen, hatte ich $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt und es geht auf. Daher hatte ich darauf geschlossen, dass mir die Limes wohl sagen, dass die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung stetig sind, damit ich mit dem Satz von Schwarz auf die Gleichheit schließen kann.

05.07.2015, 14:21

Guppi12

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Zitat:

Da mir die Limes hier nicht wirklich viel sagen, hatte ich $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt und es geht auf.

Das geht aber nur für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ auf, denn nur dort hast du diese Ableitungen überhaupt bestimmt. Dass sie außerhalb von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ stetig sind, ist auch richtig, der Knackpunkt ist aber gerade der Ursprung.

Übrigens war es ja genau, wie ich gedacht hatte, du sollst garnicht die Stetigkeit zeigen, wie du es oben geschrieben hast, sondern darauf überprüfen. Es ist also auch möglich, dass keine Stetigkeit vorliegt.

Also, damit $\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist, muss $\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y)\to(0,0)} f_{xy}(x,y) = f_{xy}(0,0) \end{eqnarray*}$ gelten. Nun impliziert diese Bedingung aber insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f_{xy}(x,0)=f_{xy}(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} f_{xy}(0,y)=f_{xy}(0,0) \end{eqnarray*}$ , da dies ja spezielle Wege sind, sich $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ zu nähern und oben alle Wege, sich der Null zu nähern, zugelassen sind.

Aber welchen Wert soll denn nun $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0) \end{eqnarray*}$ haben, damit das aufgeht? Sowohl $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ geht wohl nicht.

05.07.2015, 14:33

mathezero000

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Also wenn bei den Limes jeweils =0 rausgekommen wäre, dann wäre die Funktion an der Stelle (0,0) stetig?
Diese 1 und -1 hatte mich auch verwirrt...
Würde man den Punkt (0,0) aus dem Def.-Bereich nehmen, dann wäre die partielle Ableitung 2ter Ordnung stetig und man hätte den Satz von Schwarz verwenden können...das sehe ich doch richtig?

Nun gut, heißt, die partielle Ableitung zweiter Ordnung ist nicht stetig und damit auch nicht $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$

Richtig?

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05.07.2015, 14:44

Guppi12

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Was du gesagt hast, ist richtig bis auf einen Punkt.

$\begin{eqnarray*} f_{xy} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ stimmen außerhalb von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ überein, das weißt du ja. Damit also $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ nicht gilt, müssen sie in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ verschieden sein. Das ist hier auch so, folgt aber nicht aus der Nicht-Stetigkeit. Wir haben folgende Implikation: Wenn die partiellen Ableitungen alle existieren und in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Differentiation dort vertauschen.

Daraus folgt aber nicht, dass man nicht vertauschen kann, wenn die Ableitungen nicht stetig sind. So weit ich die Aufgabe überblicke, sollst du aber auch garnicht zeigen, dass man nicht vertauschen darf oder?

05.07.2015, 15:27

mathezero000

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Ich sehe, dass die partiellen Ableitungen 2ter Ordnung nicht stetig sind, da sie nicht im Nullpunkt münden.
Aber sind die partiellen Ableitungen 2ter Ordnung für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?
Also ist doch $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ je für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ , nur dass man das nicht mit dem Satz von Schwarz folgern kann, da die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung nicht stetig sind.

Abgesehen davon
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x,0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} f(0,y) = 0 \end{eqnarray*}$ oder?
Die Funktion ist im Nullpunkt trotzdem nicht stetig? Oder habe ich mich verrechnet, was vergessen?

Wäre nett, wenn du mir das näher bringen könntest. Freude

Freude

05.07.2015, 15:43

Guppi12

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Zitat:

Ich sehe, dass die partiellen Ableitungen 2ter Ordnung nicht stetig sind, da sie nicht im Nullpunkt münden.

Ich weiß nicht, was du damit meinst.

Zitat:

Aber sind die partiellen Ableitungen 2ter Ordnung für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

Nein, das sind sie nicht. Wie hast du das denn bestimmt?

Zitat:

Also ist doch $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ je für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ , nur dass man das nicht mit dem Satz von Schwarz folgern kann, da die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung nicht stetig sind.

Wenn das oben stimmen würde, wäre das richtig. Genau darauf wollte ich auch hinaus. Es gibt nämlich Funktionen, wo die Ableitungen kommutieren, ohne dass dies aus dem Satz von Schwarz folgt. Nur diese ist keine solche Funktion.

Zitat:

Abgesehen davon $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x,0) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{y \to 0} f(0,y) = 0 \end{eqnarray*}$ oder? Die Funktion ist im Nullpunkt trotzdem nicht stetig? Oder habe ich mich verrechnet, was vergessen?

Doch, die Funktion selbst ist stetig im Nullpunkt. Was du da falsch gemacht hast, kann ich dir aber ohne Rechenweg nicht sagen Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.07.2015, 15:57

mathezero000

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Zitat:

Original von Guppi12

Zitat:

Aber sind die partiellen Ableitungen 2ter Ordnung für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

Nein, das sind sie nicht. Wie hast du das denn bestimmt?

Nun ja, ich habe $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ als Funktion genommen, da dies ja der Fall ist für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ . Genau so habe ich die zweiten partiellen Ableitungen bestimmt, bei denen ich nur $\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \frac{x²-y²}{x²+y²} \end{eqnarray*}$ betrachtet habe. Bei a) war das ja ausreichend.
Also an sich ist die Funktion stetig, dessen Ableitungen können es aber nicht sein (wie es hier der Fall ist)?

Danke für die Hilfe, denke ich begreife es allmählich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich schreibe einfach mal eine der partiellen Ableitungen 2ter Ordnung hier rein, vielleicht habe ich doch was falsch gemacht Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} f_{xy}=\frac{(5x^4-12x²y²-y^4)(x²+y²)²-(x^5-4x³y²-xy^4)(4x³+4xy²)}{(x²+y²)^4} \end{eqnarray*}$

05.07.2015, 16:36

Guppi12

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Zitat:

Nun ja, ich habe $\begin{eqnarray*} f(x,y)=0 \end{eqnarray*}$ als Funktion genommen, da dies ja der Fall ist für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ . Genau so habe ich die zweiten partiellen Ableitungen bestimmt, bei denen ich nur $\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy \frac{x²-y²}{x²+y²} \end{eqnarray*}$ betrachtet habe. Bei a) war das ja ausreichend.

Wichtig dabei ist, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auch in einer Umgebung des betrachteten Punktes durch diese Abbildungsvorschrift gegeben ist. Für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ ist dies der Fall, da es dann immer eine Umgebung des Punktes gibt, die den Ursprung nicht enthält. Für den Ursprung selbst ist das aber natürlich nicht der Fall. Jede Umgebung des Ursprungs enthält auch Punkte, wo die Funktion durch eine andere Abbildungsvorschrift definiert ist. Deswegen muss man die partiellen Ableitungen in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ direkt mit der Definition bestimmen.

Damit erhalten wir beispielsweise $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Das heißt, wir bekommen
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\frac{x^4-y^4+4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0 \end{eqnarray*}$

Genau wie ich oben direkt nach Definition nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenziert habe, kannst du jetzt diese Funktion in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ differenzieren. Du wirst sehen, es kommt nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ heraus.

Zitat:

Also an sich ist die Funktion stetig, dessen Ableitungen können es aber nicht sein (wie es hier der Fall ist)?

Ja, sicher. Das kann passieren.

Deine zweite Ableitung kann ich gerade nicht überprüfen. Das könnte ich dann machen, wenn ich wieder zu Hause bin. Für das Verständnis ist das aber gerade auch nicht so wichtig oder? Ich verrechne mich bei sowas auch gerne mal, das heißt aber nicht, dass ich es nicht verstanden hätte.

05.07.2015, 17:52

mathezero000

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Achso ja ok. Also habe ich die zweite Ableitung richtig berechnet, falls keine Fehler passiert sind.

So vielen Dank für deine Hilfe, zusammengefasst dann:

a) Ist klar.
b) Muss ich dann wohl noch um den Punkt (0,0) ergänzen.
c) Ist dann klar. Die Ableitung zweiter Ordnung ist nicht stetig, somit kann man nicht mit dem Satz von Schwarz folgern, dass $\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx} \end{eqnarray*}$ , dass es aber trotzdem so ist, ist im Allgemeinen nicht ausgeschlossen.

Nun korrekt?

05.07.2015, 18:34

mathezero000

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Zitat:

Original von Guppi12
Genau wie ich oben direkt nach Definition nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ differenziert habe, kannst du jetzt diese Funktion in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ differenzieren. Du wirst sehen, es kommt nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ heraus.

Ich habe jetzt die erste partielle Ableitung im Punkt $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ mit der Def. nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ errechnet, auch da bekomme ich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ heraus:
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{0h-0h³}{0h+h³}=\lim_{h \to 0} \frac{0h²}{h²}=\frac{0}{1}=0 \end{eqnarray*}$

Hab ich was falsch gemacht?

05.07.2015, 19:18

Guppi12

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Zitat:

Hab ich was falsch gemacht?

Nein, bis auf den Umstand, dass du statt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hättest $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ hättest nehmen sollen, wir interessieren uns ja gerade für $\begin{eqnarray*} f_{yx} \end{eqnarray*}$ , da musst du $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ differenzieren, nicht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selbst.

Edit: Das, was du in dem Post darüber geschrieben hast, stimmt alles, übrigens könnte man alleine daraus, dass die Ableitungsordnung im Punkt (0,0) nicht irrelevant ist (was man erkennt, wenn man $\begin{eqnarray*} f_{xy},f_{yx} \end{eqnarray*}$ tatsächlich dort auch bestimmt), schon erkennen, dass sie dort nicht stetig sein können. Das ist genau die Kontraposition des Satzes von Schwarz.

05.07.2015, 20:26

mathezero000

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Ah ich glaube, ich weiß was du meinst.
Ich hatte selber jetzt nur $\begin{eqnarray*} f_{y} \end{eqnarray*}$ errechnet.
Was du meintest, ist dann wohl:
$\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f_{x}(0,0+h)-f_{x}(0,0)}{h} \end{eqnarray*}$ oder?

Nur dass $\begin{eqnarray*} (0,0+h) \end{eqnarray*}$ nicht in die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f_{x}(0,0) \end{eqnarray*}$ eingesetzt wird, weil diese Ableitung (=0) nur für $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ gilt.

Das kann man bestimmt besser formulieren, aber seh ich das so richtig?

Dann bekomme ich: $\begin{eqnarray*} f_{yx}(0,0)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{xy}(0,0)=1 \end{eqnarray*}$

Kann das hinkommen? Kommt mir irgendwie bekannt vor.. Big Laugh

Big Laugh

Zufall?

05.07.2015, 22:48

Guppi12

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Zitat:

Kann das hinkommen? Kommt mir irgendwie bekannt vor.. Big Laugh

Big Laugh

Zufall?

Habe ich auch raus. Ist aber mehr oder weniger Zufall (ich sehe zumindest keinen Zusammenhang).
Aber damit bist du ja nun fertig Freude

Freude

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