Eigenvektor von komplexen Eigenwerten im R2

Neue Frage »

05.07.2015, 12:00	ChrizZly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor von komplexen Eigenwerten im R2 Meine Frage: Halllo, Ich soll die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrix bestimmen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Eigenwerte habe ich nun folgende Lösungen: $\begin{eqnarray} \lambda = -\frac{3}{2} \pm i \end{eqnarray}$ Den Eigenvektor müsste ich ja jetzt so bestimmen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1+\frac{3}{2}+i & 2 \\ -3 & -4+\frac{3}{2}+i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Vielen Dank im Vorraus, für die Hilfe. - ChrizZly20 Meine Ideen:* Ich habe bisher einige videos geshen, bei denen aber immer das Kreuzprodukt genommen wurde (geht ja nur im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ) oder im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ wo jedoch immer geraten wurde, da man die Lösung auf den ersten Blick erkennen konnte. Ansonsten fällt mir Gaußen ein, jedoch ist dies auch nicht so einfach mit komplexen Zahlen. Was wäre der richtige Ansatz hier?
05.07.2015, 12:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne noch einmal die Eigenwerte, da scheint bei dir etwas schief gelaufen zu sein.
05.07.2015, 12:16	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
die Eigenwerte stimmen nicht. Das ist der Ansatz für die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 -\lambda & 2 \\ -3 & -4-\lambda \end{vmatrix} =0 \end{eqnarray}$ Edit: zu langsam
05.07.2015, 12:36	ChrizZly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Ich habe mich bei der pq Formel verrechnet jedoch die die Eigenwerte -1 und -2. Dies macht es auch nicht einfacher. bzw. es ist wohl sehr einfach. Aber trotzdem bin ich nicht ganz sicher, da es mir zu trivial erscheint. Die Eigenwertmatrizen sind nun folgende: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -3 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -3 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beide LGS haben jetzt keine Lösung, also gibt es keine Eigenvektoren, richtig? Falls es so ist: Wie bestimme ich das Fundamentalsystem der DGL: $\begin{eqnarray} u'=Au (A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -4\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Oder sollte ich die Frage nochmal erneut als ganze Stellen? - ChrizZly
05.07.2015, 12:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bisher stehen da Matrizen, und noch keine Gleichungssysteme. Und wieso sollte das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ keine Lösung haben? Auch der Gauß sollte keine Probleme bereiten. Wenn Eigenwerte existieren, existiert auch immer mindestens ein Eigenvektor zu jedem Eigenwert.
05.07.2015, 12:53	ChrizZly20	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm. Vielleicht ist es zu trivial und ich sehe die Lösung nicht -.- Also. Schritt für Schritt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -3 & -3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich den Gauß anwende kann ich ja nur eine ganze Zeile eliminieren, so dass entweder der Eigenvektor ein Nullvektor ist, (was ja per Definition nicht geht, also muss ich mir einen anderen suchen) oder die Lösung ist nicht bestimmbar, da ich ja eine Nullzeile habe und somit immernoch 2 unbekannte mit nur einer Gleichung. Oder übersehe ich gerade etwas? Die Defferenzialgleichung stand vorher nicht da, da ich mir dachte, dass ich diese Lösen kann, wenn ich erst die Eigenwerte und eigenvektoren habe. Wenn ich die eigenvektoren habe, kann ich es wohl auch.
Anzeige

05.07.2015, 13:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du noch nie ein unterbestimmtes Gleichungssystem gelöst? Ja, du kannst eine der beiden Zeilen komplett auslöschen und erhältst eine (vollständige!) Nullzeile. Dann kannst du einen Parameter einführen und das Gleichungssystem (in Abhängigkeit dieses Parameters) weiter bearbeiten. Da wir hier nur im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind, kann man einen Eigenvektor aber auch "sehen". Die Gleichung die übrig bleibt liefert: $\begin{eqnarray} 2x+2y=0 \Leftrightarrow x+y=0 \Leftrightarrow x=-y \end{eqnarray}$ , also erhält man als Eigenvektor...? Bei größeren Gleichungssystemen würde ich aber Gauß verwenden, da man Lösungen auch schnell übersieht bzw. sich nicht sicher sein kann wirklich alle Lösungen zu haben und man somit ein falsches Ergebnis erhält. Da wir hier im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ sind und zwei verschiedene Eigenwerte haben, ist das aber kein Problem, da für jeden Eigenwert genau ein Eigenvektor existiert.
05.07.2015, 13:09	ChrizZly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Der eigenvektor ist also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. ein vielfaches davon. und beim zweiten wäre es dann der Vektor $\begin{eqnarray} \beginn{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , richtig?
05.07.2015, 13:11	ChrizZly20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Der eigenvektor ist also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bzw. ein vielfaches davon. und beim zweiten wäre es dann der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , richtig? EDIT: 2ten Vektor korrigiert
05.07.2015, 13:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Beide passen.
05.07.2015, 13:17	ChrizZly20	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. Danke, War also recht trivial. -.- Danke an alle, die geholfen haben

Neue Frage »

Antworten »

Eigenvektor von komplexen Eigenwerten im R2

Verwandte Themen