Adjungierte Abbildungen, endlich-dimensionaler K-Vektorraum

05.07.2015, 13:41	AmHa	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierte Abbildungen, endlich-dimensionaler K-Vektorraum Meine Frage: Über K= $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ oder K= $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit positiv-definitem Skalarprodukt. Ferner sei $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Hom_K (V,V) und $\begin{eqnarray} \phi^ \end{eqnarray}$ die Adjungierte zu $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie: Kern ( $\begin{eqnarray} \phi^* \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ )= Kern ( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ) b) Folgern Sie: r( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi^* \end{eqnarray}$ )=r( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ )=r( $\begin{eqnarray} \phi^* \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ) c) Gilt auch Kern ( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi^* \end{eqnarray}$ )= Kern ( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ )? (Begründung) Meine Ideen:* Habe momentan leider keine Idee, wie ich anfangen soll Danke schonmal im Voraus!
06.07.2015, 10:48	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst zeigen, dass bei einer gegebenen mxn-Matrix A die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystem $\begin{eqnarray} A\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ identisch zur Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems $\begin{eqnarray} A^TA\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ ist. (Dabei ist $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ die transponierte Matrix, welche im Reellen der Adjungierten entspricht.) ------------------------------------------------ Beweisrichtung $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ : Angenommen $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ erfüllt das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray} A\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ . Wir wenden auf dieses Gleichungssystem die transponierte Matrix $\begin{eqnarray} A^T \end{eqnarray}$ an und erhalten das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray} A^TA\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ , womit $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ auch dieses Gleichungssystem erfüllt, w.z.b.w. ----------------------------------------------- Beweisrichtung $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ : (indirekter Beweis) Angenommen $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ erfüllt das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray} A^TA\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ , aber nicht das homogene Gleichungssystem $\begin{eqnarray} A\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ . Dann existiert also ein Vektor $\begin{eqnarray} A\vec x=\vec y\neq \vec 0 \end{eqnarray}$ . Wir bilden mit dem gegebenen Skalarprodukt das Betragsquadrat dieses Vektors $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ und erhalten $\begin{eqnarray} \vec y\cdot \vec y=A\vec x\cdot A\vec x=\vec x\cdot A^TA\vec x\neq \vec 0 \end{eqnarray}$ . Dies ist ein Widerspruch, denn es wurde vorausgesetzt $\begin{eqnarray} A^TA\vec x=\vec 0 \end{eqnarray}$ . ------------------------------------------------ Im Komplexen funktioniert der Beweis völlig analog. Der Beweis in Aufgabe c) verläuft ähnlich wie in a). Mir ist aber nicht klar, was du in Aufgabe b) mit r(...) meinst.
06.07.2015, 11:51	Luscinia	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu man sollte hier vielleicht besser nicht mit der transponierten Matrix als adjungierter Abbildung arbeiten, weil es sich nicht zwingend um das Standardskalarprodukt handelt und dies dann a priori nicht richtig ist. Man verwendet stattdessen die Definition der adjungierten Abbildung. Für c) solltest du dir ein Gegenbeispiel überlegen, die Aussage ist falsch. Was du mit r meinst, weiß ich auch nicht.

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