Topologie - offene Teilmenge

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goldotto Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie - offene Teilmenge
Meine Frage:
Wir hatten in der letzten Analysisprüfung eine Frage die mich etwas stutzig macht und ich hoffe, jemand könnte mir dabei helfen.

Es wurde die Aussage gemacht: "Sei O eine offene nicht leere Teilmenge des metrischen Raumes (X;d)" und dazu wurden Antwortmöglickeiten gegeben, wovon nur eine richtig war. Unter anderem war darunter die Antwortmöglichkeit "O ist nicht kompakt", welche als falsche Aussage gilt.

Meine Ideen:
Jetzt zu meiner Frage. Gibt es offene und zugleich kompakte Räume? Das würde die Antwort doch damit aussagen, oder?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ja, das gibt es. Betrachte zum Beispiel die diskrete Metrik auf irgendeiner nichtleeren Menge. Dort ist jede Menge offen, das heißt jede kompakte Menge ist dort offen und kompakt. Nun überlege dir, dass es nichtleere kompakte Mengen gibt.

Es gibt auch weniger abstrakte Beispiele:
Nimm dir eine beliebige kompakte Menge eines metrischen Raums und betrachte diese mit der induzierten Metrik selbst als metrischen Raum. Dann ist die Menge selbst in diesem Raum kompakt und offen.

Ein Beispiel wäre mit euklidischer Metrik.

Edit: Falls du ein natürliches Beispiel willst, wo die betrachtete Menge nicht der ganze metrische Raum selbst ist, nimm dir die Vereinigung zweier disjunkter kompakter reeller Intervalle. Dann ist jedes der Intervalle selbst in diesem Raum kompakt und offen.

Edit2: Übrigens jeder metrischer Raum ist in sich selbst offen. (Dein letzter Satz sieht mir so aus, als wäre dir das nicht ganz klar.)
goldotto Auf diesen Beitrag antworten »

Ne ne, mir schon bekannt ,dass jeder metrischer Raum ist in sich selbst offen ist.
Ich hatte nur angenommen, wenn ein Offener nicht leerer Teilraum angegebn wird, dass dies "Kompaktheit" ausschließen würde.

Auf jeden Fall danke für die schnelle Antwort. Das hilft mir wirklich sehr weiter. Freude
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