Spiegelung Punkt an Ebene

07.07.2015, 11:47

garfield91

Spiegelung Punkt an Ebene

Hallo zusammen,

ich habe hier eine Frage zu einer Aufgabe. Ich weiß auch,dass das Thema schon öfter hier besprochen wurde. Ich würde nur gerne wissen, ob die Aufgabe so korrekt gelöst ist.

Ein Lichtstrahl mit der Richtung $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wird von einer Lichtquelle im Punkt (1,1,1) auf einen Spiegel geschickt, welcher in der Ebene $\begin{eqnarray*} E : 1x + 2y + 2z = -19 \end{eqnarray*}$ liegt.

Gesucht ist der Punkt,an der der Lichtstrahl auf den Spiegel trifft.

Meine Lösung dazu :

Aus dem Punkt der Lichtquelle und der Richtung des Lichtstrahls eine Gerade bilden.

$\begin{eqnarray*} \vec{g} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Gerade in die Ebene eingesetzt ergibt bei mir dann :
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -14

Damit ergibt sich ein Durchstoßpunkt von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -13 \\ 15 \\ -13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt wird noch gefragt,in welche Richtung der Lichtstrahl reflektiert wird.
Meine Idee dazu :

Einfallswinkel = Ausfallswinkel

Den Durchstoßpunkt als Stützvektor nehmen, den Schnittwinkel zwischen Ebene und Gerade ausrechnen und dann komme ich irgendwie nicht weiter verwirrt

mfG,
Markus

07.07.2015, 11:58

Bürgi

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RE: Spiegelung Punkt an Ebene
Guten Tag,

Zitat:

Die Gerade in die Ebene eingesetzt ergibt bei mir dann : $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -14

Das ist so nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} (1+\lambda) + 2(1-\lambda) + 2(1+\lambda)=-19 ~ \implies~ \lambda= -24 \end{eqnarray*}$

07.07.2015, 12:06

garfield91

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Hallo Bürgi,

oh natürlich Hammer

Danke für den Hinweis!

07.07.2015, 12:42

Dopap

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Mit Winkeln wird das ein harter Weg.

Spiegele doch einfach die Lichtstrahlgerade an der Ebene. wie ?

Spiegele den P (1,1,1) an der Ebene = P'

dann die Gerade g( P', Durchstoßpunkt ) bilden.

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gespiegelte Gerade wäre der richtige Titel.

07.07.2015, 14:29

garfield91

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Hallo,

okay,danke!

Ich habe jetzt folgendes gemacht ( Ich schreibe jetzt nur die Vorgehensweise, mit Zahlen wäre das ein wenig zu viel)

1. Normalenvektor der Ebene bestimmt
2. Gerade aus dem Punkt (1,1,1) und dem Normalenvektor gebildet.
3. Gerade in Ebene eingesetzt, einen Parameter u errechnet.
4. Bei 1*u schneidet die Gerade die Ebene, also 2*u zur Basis meines Spiegelpunktes.
5. In die Gerade vom Punkt zur Ebene als Parameter 2u einsetzt.
6. Der Punkt, der herauskommt, ist mein Ortsvektor der Spiegelgeraden
7. Der Durchstoßpunkt des Lichtstrahls - Ortsvektor Spiegelgerade ist mein Richtungsvektor

Ich hoffe, ihr versteht wie ich das meine verwirrt

mfG,
Markus

07.07.2015, 15:05

Dopap

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unklar ist mir nur, wie du den "Stützpunkt" P der ersten Gerade spiegelst. Das hat nämlich mit dem Schnittpunkt S gar nichts zu tun.