Die reelle Zahl der Ungleichung herausfinden

07.07.2015, 13:47

soundmaster

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Die reelle Zahl der Ungleichung herausfinden

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,

Ich habe seit kurzem mit der Höheren Mathematik 1 angefangen und bin bei einem Problem, das ich einfach nicht verstehen kann.

Ich habe hier 2 verschiedene Ungleichungen:
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x} > \frac{3}{x-3} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x} > \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Hier soll ich alle reelle Zahlen in den Ungleichungen bestimmen.

Meine Ideen:
Bei der ersten Gleichung habe ich das ganz einfach umgeformt, sodass ich x von links auf die rechte Seite gebracht habe und das x-3 von rechts auf die linke Seite.
Dann konnte man die Gleichung einfach auflösen und man ist auf $\begin{eqnarray*} x>\frac{15}{2} \end{eqnarray*}$ gekommen.
Jedoch kann es laut den Löungen auch L = {x ? R : 0 < x < 3} sein.
Auch bei der zweiten Gleichung komme ich auf keinen Wert durch rechnen.

Ich habe ein bisschen nachgeschaut, was da gemacht werden kann und habe diese Fallunterscheidung gefunden, doch ich weis nicht, wie das an den beiden Beispielen angewendet werden soll. unglücklich

unglücklich

Bei der zweiten Gleichung weis man aber schon so vom bloßen sehen, dass x>0 sein muss, aber ich hab das auch mit -1 getestet und es hat funktioniert.
Wie kann ich da besser oder genauer angehen?

07.07.2015, 13:49

HAL 9000

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"Ganz einfach umgeformt" heißt wohl: Mit x(x-3) multipliziert.

Dir ist aber schon bewusst, dass sich bei Multiplikation mit negativen Faktoren das Relationszeichen umdreht? verwirrt

verwirrt

07.07.2015, 13:57

soundmaster

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Ich schreibs mal genauer auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{x} > \frac{3}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5*(x-3) > 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x -15 > 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x >15 \end{eqnarray*}$

-> x>15/2

07.07.2015, 14:00

HAL 9000

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Ich sehe, die Antwort auf meine Frage

Zitat:

Original von HAL 9000
Dir ist aber schon bewusst, dass sich bei Multiplikation mit negativen Faktoren das Relationszeichen umdreht? verwirrt

verwirrt

ist laut und deutlich: NEIN unglücklich

unglücklich

Im Klartext: Deine Umformungen gelten nur für jene x mit x(x-3)>0, und das sind die Bereiche x>3 und x<0.

Für 0<x<3 hingegen ist x(x-3)<0, und dort dreht sich das Relationszeichen um, man erhält dort nach den Umformungen also x < 15/2 .

07.07.2015, 18:26

soundmaster

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Wie kommst du auf die x(x-3)?

07.07.2015, 20:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von soundmaster
Wie kommst du auf die x(x-3)?

Das ist das Produkt der beiden Nenner. Anscheinend hast du gar nicht gemerkt, dass auch du die Ausgangsungleichung damit multipliziert hast (ob nun in einem oder sukzessive in zwei Schritten *x und *(x-3) ).

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08.07.2015, 06:44

soundmaster

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So hat man dann den Bereich von 0<x<3 bestätigt?

Wenn ja, wie soll ich bei der zweiten Gleichung den Bereich bestätigen, in dem x=-1 vorkommt?

Diese Herleitungen sind mir teilweise noch ziemlich suspekt :S

08.07.2015, 07:24

HAL 9000

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Meine Empfehlung: Derartige Multiplikationen und daraus resultierende Fallunterscheidung soweit möglich nach hinten verlagern, im Beispiel 1 sieht das so aus:

$\begin{align*} \frac{5}{x} - \frac{3}{x-3} > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{5(x-3)-3x}{x(x-3)} > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{2\left(x-\frac{15}{2}\right)}{x(x-3)} > 0 \end{align*}$

Nullstellen von Zähler und Nenner zusammengenommen wechselt der Term links insgesamt dreimal sein Vorzeichen beim Durchgang durch die Nullstellen $\begin{align*} 0 \end{align*}$ , $\begin{align*} 3 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \frac{15}{2} \end{align*}$ , d.h. bezogen auf die Intervalle $\begin{align*} (-\infty,0) \end{align*}$ , $\begin{align*} (0,3) \end{align*}$ , $\begin{align*} \left(3,\frac{15}{2}\right) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \left(\frac{15}{2}, \infty\right) \end{align*}$ hat man jeweils wechselnde Vorzeichen - fehlt nur noch die konkrete Zuordnung dieser Vorzeichen. Und die bekommt man durch Einsetzen eines konkreten Wertes aus dem Innern eines dieser Intervalle raus, hier ist sie -+-+, d.h., in den beiden Intervallen $\begin{align*} (0,3) \end{align*}$ und $\begin{align*} \left(\frac{15}{2}, \infty\right) \end{align*}$ hat man positves Vorzeichen und damit ist deren Vereinigung die Lösungsmenge der Ungleichung.

------------------------------------

Selbes Verfahren für die zweite Ungleichung:

$\begin{align*} \frac{x+1}{x} - \frac{x}{x+1} > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{(x+1)^2-x^2}{x(x+1)} > 0 \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{x(x+1)} > 0 \end{align*}$

Nullstellen von Zähler und Nenner zusammengenommen wechselt der Term links wieder dreimal sein Vorzeichen, und zwar beim Durchgang durch $\begin{align*} -1 \end{align*}$ , $\begin{align*} -\frac{1}{2} \end{align*}$ sowie bei $\begin{align*} 0 \end{align*}$ . Den Rest überlasse ich dir.

08.07.2015, 12:33

soundmaster

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Vielen Dank für das sehr gute Beispiel inklusive Beispielrechnung.
Ich wollte das eigentlich auch als erstes so machen, aber bin anscheinend an der Umformung gescheitert. Jetzt habe ich es aber verstanden, da ich nochmal die Regeln nachgeschlagen habe.

Nun, die Nullstellen bekommt man raus, wenn man Nenner bzw. Zähler =0 macht, jedoch komm ich z.b. bei x(x-3) auf -3 und 0 und nicht auf die geplante 0 und 3.

Bin ich einfach unbegabt oder was? Big Laugh

Big Laugh

08.07.2015, 12:52

soundmaster

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Sorry für den Doppelpost...
habs nun gesehen warum...Das Vorzeichen vergessen Hammer

Hammer

Die nächste Aufgabe werde ich dann mal versuchen

08.07.2015, 13:47

soundmaster

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Also, ich habe die 2te Aufgabe wie folgt gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x} >\frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x} -\frac{x}{x+1} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)*(x+1)-x^2}{x*(x+1)} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich erst den Zähler auf 0 gesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2*(x+1)-x^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2*(x+1) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1 = \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{x^2}{2} -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x = x^2-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-2x-2=0 \end{eqnarray*}$

Dann folgt die pq-Formel und ich habe x1=-0.7321 und x2=2.7321 raus

Nun nehm ich den Nenner=0:

$\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$

Mit der pq-Formel habe ich x1=-1 und x2=0

Somit habe ich die Intervalle:

$\begin{eqnarray*} (-\infty;,-1) (-1;-0,7321) (-0;7321,0) (0;2,7321) (2,7321;-\infty) \end{eqnarray*}$

Durch Einfügen von einem Wert von den Intervallen, versuche ich herauszufinden, was größer 0 ist.
Und so ist bei mir rausgekommen, dass -++++ rauskommt.

Folglich müsste die Lösungsmenge L= $\begin{eqnarray*} [-1,-\infty] \end{eqnarray*}$

Irgendwie bin ich skeptisch, dass ich das ganz richtig habe, aber schau dir das mal an. smile

smile

08.07.2015, 15:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von soundmaster
$\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)*(x+1)-x^2}{x*(x+1)} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich erst den Zähler auf 0 gesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2*(x+1)-x^2=0 \end{eqnarray*}$

Erstaunt1

Im Zähler steht $\begin{align*} (x+1)^2-x^2 = (x^2+2x+1)-x^2 = 2x+1 \end{align*}$ , wie ich oben schon mal geschrieben hatte. unglücklich

unglücklich

09.07.2015, 07:02

soundmaster

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Okay, sorry, das hab ich ziemlich verbockt.
Mit dem Umformen hab ichs anscheinend nicht so :S

Nun denn, du hast ja schon die Formel gekürzt ( $\begin{eqnarray*} 2x+1 \end{eqnarray*}$ )

Wenn man diese auf 0 auflöst, kommt man auch -1/2

Somit kommen wir auf die Intervalle:

$\begin{eqnarray*} (-\infty ;-1) (-1;-0,5) (-0,5;0) (0;\infty ) \end{eqnarray*}$

Dort habe ich dann von den Intervallen die Werte -2;-0,7;-0,3 und 2 genommen und habe Sie in der Zähler wie Nenner eingesetzt um zu sehen, Ob das Ergebnis positiv oder Negativ ist.

So habe ich das so herausbekommen:
++--

Somit müsste die Lösungsmenge so aussehen:
$\begin{eqnarray*} L=(-0,5>x) \cup (x>0) \end{eqnarray*}$

Ich sehe schon, ich hab noch ein paar Schwierigkeiten mit den Grundlagen, aber das sollte sich hoffentlich nach vielen Übungen legen.

Wäre die Lösung nun richtig?

09.07.2015, 07:27

HAL 9000

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Beruhen die Nullstellen auf einfachen Linearfaktoren (d.h. ohne Quadrate oder andere höhere Potenzen) - so wie in beiden Beispielen oben - dann findet immer ein Wechsel bei den Nullstellen statt, sowas wie ++-- gibt es da nicht. Da musst du dich beim Einsetzen verrechnet haben.

Tatsächlich haben wir hier wieder -+-+ vorliegen (das Einsetzen eines Wertes statt vier hätte dazu genügt), also ist die Lösung $\begin{align*} \left(-1,-\frac{1}{2}\right)\cup (0,\infty) \end{align*}$ .

09.07.2015, 07:51

soundmaster

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Nochmal hat sich ein Fehler eingeschlichen.

Mit dem eingesetzten Wert -2 habe ich mich ausversehen verrechnet und beim letzten Intervall habe ich das Vorzeichen falsch abgeschrieben.

Nun bin ich auch auf -+-+ und die bestimmten Lösungsmengen gekommen.

Diese 2 Beispiele und du haben mich viel gelehrt, dafür bin ich sehr dankbar smile

smile

Zwei abschließende Fragen habe ich noch:
Kann ich das Verfahren auch anwenden, wenn dort nicht $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ gestanden wäre?

Beim ganzen Nachschlagen etc. bin ich sehr sehr oft auf "Fallunterscheidungen" gekommen und mit denen bin ich sehr wenig klar gekommen, weil mir einiges so willkürlich ohne mathematischen Sinn vorgekommen ist. Brauch man die Fallunterscheidungen in späteren Semestern sehr?

09.07.2015, 08:52

HAL 9000

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Bei =0 muss man aufpassen, und sich die "Trennstellen" zwischen den Intervallen genau anschauen:

Sind das Nullstellen des Zählers, dann gehören sie mit zur Lösungsmenge.

Sind es dagegen Nullstellen des Nenners, dann gehören sie sowieso nicht zum Definitionsbereich und damit natürlich auch nicht zur Lösungsmenge der Ungleichung.

09.07.2015, 10:09

soundmaster

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Dann ist die Darstellungsart der Intervalle so, wenn man die erste Rechnung als Beispiel nimmt:

$\begin{eqnarray*} L= [0;3] oder [7,5;\infty ] \end{eqnarray*}$ , oder?

09.07.2015, 10:24

HAL 9000

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Um Missverständnisse zu vermeiden solltest du die nunmehr betrachtete, veränderte Ungleichung mit angeben. Ich nehme an, du redest jetzt von

$\begin{align*} \frac{5}{x}~{\color{red}\geq}~\frac{3}{x-3} \qquad (*) \end{align*}$

Wie ich gerade eben sagte (und was du anscheinend wie so oft hier im Thread ignoriert hast) gehören die Nullstellen des Nenners NICHT zum Definitionsbereich der Ungleichung, und damit auch NICHT zur Lösungsmenge! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Im Vergleich zu oben kommt also nur die eine Zählernullstelle $\begin{align*} 7.5 \end{align*}$ hinzu, die Lösungsmenge von (*) ist daher $\begin{align*} (0,3)\cup [ 7.5, \infty) \end{align*}$ .

09.07.2015, 10:56

soundmaster

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Geblickt!

Big Laugh

ohje haha

Big Laugh

Sorry, dass ich dich so auf die Folter gespannt hab Big Laugh

Big Laugh

Ich bedanke mich vielmals smile

smile

smile

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