Gruppenhomomorphismus zeigen/widerlegen

07.07.2015, 16:20

Malicious

Gruppenhomomorphismus zeigen/widerlegen

Meine Frage:
Hallo,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}, \oplus) \rightarrow (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, \oplus) \end{eqnarray*}$ mit gegebener Zuordnung:

$\begin{eqnarray*} m + 4 \mathbb{Z} \mapsto m + 5 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomorphismus (GHM)?

Meine Ideen:
So jetzt habe ich ganz schön viele Sache im Kopf...

da ich ne Zordnung gebeben habe, kann ich natürlich jetzt konkret Zahlen einsetzen und diese Beh. eines GHM wiederlegen!

z.B. Nutze dafür Def. vom GHM und wähle $m = 3$ :

$\begin{eqnarray*} \forall g_{1}, g_{2} \in G \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(g_{1} \circ g_{2}) = f(g_{1}) \oplus f(g_{2}) \end{eqnarray*}$

also bei mir : $\begin{eqnarray*} f((3 + 4 \mathbb{Z}) \oplus_{4} ((3 + 4 \mathbb{Z})) = f(2+ 4 \mathbb{Z})= 2 + 5 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

und nun die andere Seite der Gleichung: $\begin{eqnarray*} f(3 + 4 \mathbb{Z}) \oplus_{5} f(3 + 4 \mathbb{Z}) = (3 + 5 \mathbb{Z}) \oplus_{5} (3 + 5 \mathbb{Z})= 1 + 5 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

wir stellen fest die linke und rechte Seite der GL stimmen nicht überein also kein GHM.

Und was mache ich, wenn ich keine Zuorsnung gegeben habe? das möchte ich wissen, das ist glaube ich viel interessanter :-)

OK nun kann ich ja folgendes machen, ich identifiziere die gegebene Abb. wie folgt $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}, \oplus) \cong (R_{4}, \oplus) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, \oplus) \cong (R_{5}, \oplus) \end{eqnarray*}$

dann nenne ich das mal $\begin{eqnarray*} \bar f: R_{4} \rightarrow R_{5} \end{eqnarray*}$

ok und was mach ich nun? Aha ja ich weiß wie die Gruppentafeln dazu aussehen, die haben nämlich die gleiche Struktur, wobei $\begin{eqnarray*} R_{4}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} 0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ } und $\begin{eqnarray*} R_{5}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} 0,1,2,3,4 \end{eqnarray*}$ }

so und wie mache ich jetzt weiter ...

f(0)= 0
f(1)= 1
f(2)= 2
f(3)= 3 mehr geht nicht weil $\begin{eqnarray*} R_{4} \end{eqnarray*}$ hat nur 4 Elemente und $\begin{eqnarray*} R_{5} \end{eqnarray*}$ hat 5 Elemente , es würde dann quasi wieder von vorne losgehen f(0)= 4

(stimmt das erstmal so?)

und nun? brauche ich vielleicht die Ordnungen, oder die Aussage zyklisch oder nicht zyklisch oder...also wie schließe ich denn nun drauf dass es jetzt kein GHM ist???

07.07.2015, 16:34

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Und was mache ich, wenn ich keine Zuorsnung gegeben habe?

Dann hast du keine Abbildung, also sicher keinen Gruppenhom.

Ist deine eigentliche Frage evtl:
Wie kann man feststellen ob zwei Gruppen isomorph sind?

Zitat:

dann nenne ich das mal $\begin{eqnarray*} \bar f: R_{4} \rightarrow R_{5} \end{eqnarray*}$

Und was soll das sein? Eine Abbildung ist es definitv nicht.

07.07.2015, 16:44

Malicious

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Hallo Captain,

ob zwei Gruppen isomorph sind, ist auch interessant!!

Aber jetzt gehts erstmal darum ob überhaupt ein Gruppenhomo da ist bzw. nicht da ist!!

Diese Zuordung wurde uns vorgeben, weil es einfacher ist, dann zu bestimmen ob GHM ja oder nein, hab ich doch auch richtig gelöst oder !!! ??

Jetzt kann man die Aufgabe natürlich auch lösen ohne dieser vorgebenen Zuordnung, ich weiß nur nicht wie ich das zeigen soll, deswegen frage ich euch alle!!

Vielleicht kannst du ein bisschen auf meine genannten Sachen eingehen??

warum ist das $\begin{eqnarray*} \bar f: (R_{4}, \oplus) \rightarrow (R_{5}, \oplus) \end{eqnarray*}$
keine Abbildung??

07.07.2015, 16:50

Captain Kirk

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Geht es auch ohne (mehrfache) Ausrufezeichen?Danke.

Zitat:

warum ist das $\begin{eqnarray*} \bar f: (R_{4}, \oplus) \rightarrow (R_{5}, \oplus) \end{eqnarray*}$
keine Abbildung?

Schau dir doch bitte mal die Definition einer Abbildung an. Ein entscheidender Teil fehlt.

Zitat:

Vielleicht kannst du ein bisschen auf meine genannten Sachen eingehen??

Auf was bin ich denn nicht eingegangen?
Was du zur konkreten Aufgabe geschrieben hast ist richtig. Dazu hattest du im ersten Post allerdings keine Frage gestellt.

07.07.2015, 17:04

Malicious

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hmm jetzt werd ich langsam nervös....

ok scheiss auf den ersten Teil, der ist fertig... den hab ich einfach nur so aufgeführt..

also nun zum zweiten Teil, das ich die vorgegeben Abbildung so identifizieren kann, wie ich es getan habe, ist also auch kacke? Ich bin mir 100 % sicher, dass ich das so machen kann... dann kann ich das auch so nennen wie ich es gemacht habe!

Jetzt ist die Frage wie zeige ich das es kein GHM ist, es kann sein, das man es über die Ordnung macht (weiß gerade nicht, wie das geht) oder über Untergruppen also Untergruppe von $\begin{eqnarray*} R_{5} \end{eqnarray*}$ wären {0} und $\begin{eqnarray*} R_{5} \end{eqnarray*}$ selbst also {0,1,2,3,4} aber jetzt weiß ich nicht wie ich argumentieren soll, kannst du mir nun folgen?

07.07.2015, 17:09

Captain Kirk

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Zitat:

also nun zum zweiten Teil, das ich die vorgegeben Abbildung so identifizieren kann

Im zweiten Teil steht keine Abbildung da.

Zitat:

Jetzt ist die Frage wie zeige ich das es kein GHM ist,

Jeder Gruppenhom. ist eine Abbildung. Da ist keine Abb. Fertig.

Zitat:

Ich bin mir 100 % sicher, dass ich das so machen kann... dann kann ich das auch so nennen wie ich es gemacht habe!

Ichh bin mir 100% sicher dass das komplett sinnfrei ist. Ich weiß nichtmal was es eigentlich sein soll.

Zitat:

kannst du mir nun folgen?

Nein. Was ist denn eigentlich die Aufgabenstellung/Fragenstellung?

07.07.2015, 17:19

Malicious

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Ist bisschen warm heute...

also die Aufgabenstellung wurde formuiert, kommt nach "Meine Frage:"

und die Fragestellung ist: Wie kann ich zeigen, dass das $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}, \oplus) \rightarrow (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, \oplus) \end{eqnarray*}$ kein GHM ist,

OHNE dieser Zurodnung: ( $\begin{eqnarray*} m + 4 \mathbb{Z} \mapsto m + 5 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ )

(die Frage hat sich nicht geändert, es ist die gleiche wie beim 1. Post)

07.07.2015, 17:21

Captain Kirk

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Diese Frage hab ich bereits mehrfach(!) in diesem Thread beantwortet:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}, \oplus) \rightarrow (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, \oplus) \end{eqnarray*}$

Dieses f ist keine Abbildung, also erst recht kein Gruppenhomomorphismus.

07.07.2015, 17:27

Malicious

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hmm das ist voll komisch, warum hat denn mein Übungsleiter gesagt es gibt auch einen Weg ohne diese Zurordnung... das verstehe ich nicht..

kann sein das er sich vertan hat, dann glaub ich dir aber ...

das mit dem identifizieren was ich gemacht habe, hast du auch nicht verstanden?

07.07.2015, 17:33

Captain Kirk

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Zitat:

hmm das ist voll komisch,

Ist dir ernsthaft nicht klar was eine Abbildung?

Zitat:

warum hat denn mein Übungsleiter gesagt es gibt auch einen Weg ohne diese Zurordnung...

Ich bin mir fast 100% sicher dass er/sie das nicht exakt so gesagt hat. Oder du meinst mit "Zurordnung" nicht Zuordnung wie ich den ganzen Thread annehme.

Zitat:

das mit dem identifizieren was ich gemacht habe, hast du auch nicht verstanden?

Du hast die Objekte im Endeffekt mit sich selbst identifiziert.

07.07.2015, 17:39

Malicious

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Ja ich bin grad etwas durcheinander ...

also ich meinte mit Zuordnung das hier (ja der Übungsleiter hat das auch so gemeint):

$\begin{eqnarray*} m + 4 \mathbb{Z} \mapsto m + 5 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

du nicht?

07.07.2015, 17:46

Captain Kirk

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Ich meine mit Zuordnung eine Abbildungsvorschrift.
Das aus deinem Post ist eine Zuordnungs.

Es gibt durachaus einen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}, \oplus) \rightarrow (\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, \oplus) \end{eqnarray*}$ , nämlich den mit der Zuordnungsvorschrift f(x)=0.
Ein weiterer Punkt warum das Weglassen der Abbildungsvorschrift hier sinnfrei ist.

07.07.2015, 17:56

Malicious

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ja ich verstehe es mittlerweile auch nicht mehr, so was doofes, naja ich kann ja dann sagen ich hab mich damit beschäftigt aber nix verstanden :-))

Meinst du eigentlich mit "Zuordnungsvorschrift f(x)=0." die Nullabbildung?

07.07.2015, 18:04

Captain Kirk

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Zitat:

Meinst du eigentlich mit "Zuordnungsvorschrift f(x)=0." die Nullabbildung?

Nein mit Zuordnungsvorschrift meine ich Zuordnungsvorschrift.
Das f das ich hier definiert hab (und ich kann das hier anscheinend nicht überbetonen: Eine Abbildung ist eine Quelle, ein Ziel und eine Abbildungsvorschrift) ist die Nullabbildung.

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