Grenzwert Unendlich minus Unendlich

08.07.2015, 21:25

Tempi

Grenzwert Unendlich minus Unendlich

Hi, es geht um den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\sqrt{n^4+5n^2} -\sqrt{n^4-3n^2}) \end{eqnarray*}$

Ich würde jetzt die Summanden getrennt ausrechnen, aber dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \infty -\infty \end{eqnarray*}$ . verwirrt

Wie geht man hier nochmal vor?

08.07.2015, 21:54

Dopap

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das riecht nach 3. binomischer Formel. Also passend erweitern, das könnte helfen

edit: man kann n ausklammern.

08.07.2015, 22:19

Tempi

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Okay ich kann dann schon mal umformen zu $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (n\sqrt{n^2+5} -n\sqrt{n^2-3}) \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es jetzt weiter?

08.07.2015, 23:00

Dopap

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Zitat:

Original von Tempi
Okay ich kann dann schon mal umformen zu $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (n\sqrt{n^2+5} -n\sqrt{n^2-3}) \end{eqnarray*}$

Aber wie geht es jetzt weiter?

Ich dachte daran, mit $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{n^2+5} +\sqrt{n^2-3}}{\sqrt{n^2+5} +\sqrt{n^2-3}}=1 \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren, also

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } n(\sqrt{n^2+5} -\sqrt{n^2-3})\cdot \frac {\sqrt{n^2+5} +\sqrt{n^2-3}}{\sqrt{n^2+5} +\sqrt{n^2-3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty } \frac {n \bigg (\sqrt{n^2+5} -\sqrt{n^2-3}\bigg )\cdot \bigg ({\sqrt{n^2+5} +\sqrt{n^2-3}} \bigg )}{\sqrt{n^2+5} +\sqrt{n^2-3}} \end{eqnarray*}$

ist aber nur eine Idee meinerseits.

08.07.2015, 23:14

Tempi

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Das führt dann zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{8n}{\sqrt{n^2+5}+\sqrt{n^2-3} } \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die höchsten Potenzen miteinander vergleiche, also einfach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ führt das zu $\begin{eqnarray*} \frac{8n}{2n} \end{eqnarray*}$ und somit zum Grenzwert $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$

Klappt tatsächlich Freude

08.07.2015, 23:21

Dopap

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schön wenn es so wäre, nur sollte man den letzten Schritt nicht noch präzisieren verwirrt

08.07.2015, 23:29

Tempi

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Schade hab mich schon gefreut verwirrt

Hmm vielleicht irgendwas wegen den Vorzeichen? Denn mir fällt gerade auf, dass es genauso auch $\begin{eqnarray*} -2n \end{eqnarray*}$ sein könnte, oder?

08.07.2015, 23:39

Dopap

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Nun, r=4 ist ja richtig laut meinem TR. Augenzwinkern

Ich meinte $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+5}+\sqrt{n^2-3} \approx 2n \end{eqnarray*}$ ist für große n "offensichtlich" aber nicht präzise.

09.07.2015, 00:00

Tempi

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Kann man es denn irgendwie präzieser ausdrücken? Oder reicht es so wie ich es gemacht habe wenn nur nach dem Grenzwert gefragt wird?

09.07.2015, 00:48

Helferlein

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Warum kürzt Du das n nicht einfach aus dem Term?

09.07.2015, 00:52

Dopap

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Zitat:

Original von Tempi
Kann man es denn irgendwie präzieser ausdrücken?

das weiß ich ja selbst nicht.

Aber vllt. geht der Grenzwert ja auf ganz anderem Wege, bei dem das "Problem" erst gar nicht auftaucht.

Zitat:

Oder reicht es so wie ich es gemacht habe wenn nur nach dem Grenzwert gefragt wird?

Ich kenne eure Gepflogenheiten nicht.

09.07.2015, 10:57

Matt Eagle

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Üblicherweise werden Grenzwerte dieser Bauart entweder mittels 3. binomischer Formel oder mittels Abschätzungen erledigt.

Durch Erweitern unter Berücksichtigung der 3. bin. Formel folgt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^4+5n^2}-\sqrt{n^4-3n^2}=\frac 8{\sqrt{1+\frac 5{n^2}}+\sqrt{1-\frac 3{n^2}}} \end{eqnarray*}$

und wenn man nun die Stetigkeit der Wurzel ins Spiel bringen darf, dann offenbaren die Grenzwertsätze den gesuchten Grenzwert.

Andererseits folgt aus der Ungleichung zwischen arithmetischem, geometrischen und harmonischem Mittel:

$\begin{eqnarray*} \frac{8n^2+\frac{15}2}{2n^2+5}\leq\sqrt{n^4+5n^2}-\sqrt{n^4-3n^2}\leq\frac{8n^2-\frac{15}2}{2n^2-3} \end{eqnarray*}$

und man kann mittels GWS und Einschließungskriterium den Sack zu machen.

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