Binomialverteilung und Grenzwertsatz.

09.07.2015, 13:48

mindlich

Binomialverteilung und Grenzwertsatz.

Zur Aufgabe:

Ein Hotel hat 20 Zimmer. Die Zimmeranfragen verteilen sich zufällig.
Der Erwartungswert liegt bei 16 Zimmeranfragen.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden nur bis zu 15% der Zimmer nicht angefragt?

Kann mir hier jemand beim lösen helfen. Ich tu mich ein wenig schwer.

b)Mit welcher Wahrscheinlichkeit wäre bei eineim Hotel mit 200 Zimmern die Kapazität zu mindestens 75% ausgelasted, wenn jedes Zimmer mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 gebucht wird.
(Grenzwertsatz von Moivre-Laplace hab ich hier genommen)

Brauch auch hier mal die Lösung damit ich Vergleichen kann.

LG Christian

09.07.2015, 14:10

Nullmenge

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RE: Binomialverteilung und Grenzwertsatz.
Hallo,

a) X sei die Zufallsvariable für die Anzahl von freien Zimmern. X ist binomialverteilt, d. h. $\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal B(n,p) \end{eqnarray*}$ . Es ist $\begin{eqnarray*} n=20 \end{eqnarray*}$ . Du musst nun zuerst p bestimmen.

Die Aufgabe sagt $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=16 \end{eqnarray*}$ . Wenn du z. B. auf Wikipedia nachguckst, wie sich der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable berechnet, erhältst du damit ganz leicht p.

Dann hast du also n und p und sollst $\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\le 3) \end{eqnarray*}$ berechnen. Auf die 3 kommst du, indem du 15% von 20 Zimmern ausrechnest.

b) Folgt später. Muss erst rechnen ^^

09.07.2015, 14:16

Nullmenge

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RE: Binomialverteilung und Grenzwertsatz.
b) Ich erhalte hier etwa 92,93% (auch mit der Normalapproximation).

09.07.2015, 14:21

mindlich

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Für A hatte ich den selben Lösungsansatz , komme trotzdem nicht dahinter wie man p Ausrechnet.

Habe gerade bei wiki geschaut.

Für B)

Komme ich leider auf was komplett anderes. unglücklich

Komme auf 13,...%

09.07.2015, 14:31

Nullmenge

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zu a) $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=np \end{eqnarray*}$ . Dabei ist nach Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=16,\ n=20 \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} 16=20p \end{eqnarray*}$ und damit p=0,8.

Bei b) hab ich auch einen Fehler gemacht. Ich schreibe einfach meinen Rechnenweg mal auf und wir gucken gemeinsam mal drüber:
$\begin{eqnarray*} X\sim\mathcal B(200; 0,8) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge150)=1-\mathbb P(X\le 149)=1-\mathcal B_{200; 0,8}(-\infty;149] \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} \mu=np=200\cdot0,8=160,\ \sigma^2=np(1-p)=160\cdot0,2=32 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \mathbb P(X\ge150)\approx1-\mathcal N_{160;32}(-\infty;149+0,5)=1-\mathcal N_{0;1}\left(-\infty;\frac{149+0,5-160}{\sqrt{32}}\right)<br /> =1-\Phi(-1,86)=1-(1-\Phi(1,86))=\Phi(1,86)=0,0707=7,07\% \end{eqnarray*}$

09.07.2015, 14:37

mindlich

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Kannst du mir noch schnell die Antwort von A geben. Sind 21% richtig?

Ich schau gerade über B). Da kann ich es schneller Verglichen.

09.07.2015, 14:38

HAL 9000

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Die ziemlich nichtssagende Erläuterung

Zitat:

Original von mindlich
Die Zimmeranfragen verteilen sich zufällig.

leistet ja nicht wirklich einen Beitrag zur Klärung des Modells der Anfrageverteilung. Normalerweise fragt ja ein Gast nicht nach einem ganz speziellen Zimmer, sondern überhaupt nach einem Zimmer. Und da würde ich von einer poisson-verteilten Anfrageverteilung ausgehen, hier mit Erwartungswert 16.

Wie gesagt, das von euch bevorzugte Modell, dass jeder Gast nach einer ganz speziellen Zimmernummer fragt (und wenn die besetzt ist, gibt er auf und bucht ein anderes Hotel???), finde ich schon ein wenig schräg. Augenzwinkern

09.07.2015, 14:50

Nullmenge

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Im Übrigen muss man dann bei a) mit q=0,2 weiterrechnen, also
$\begin{eqnarray*} \mathbb P_q(X\le3)\approx41,14\% \end{eqnarray*}$

Da ich keine Lust hatte, die 4 Summanden handschriftlich auszurechnen, empfehle ich hier
http://www.ingo-bartling.de/mathe/klasse12/html/stochastik/binomial/binomialvert.html
einen tollen Rechner dafür smile

@ HAL 9000
Ich habe mich einfach nach dem Thread Titel gerichtet und habe dawegen einfach vermutet, dass die vollständige Aufgabenstellung von einer Binomialverteilung ausgeht. Klar ist die hier aus praktischer Sicht nicht so sinnvoll, aber wir gehen wir wohl von Gästen aus, die die komplette Belegung der Zimmer abchecken wollen Augenzwinkern

09.07.2015, 14:55

HAL 9000

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Mag sein - aber da hätte ich mir eine bessere Erläuterung in der Aufgabenstellung gewünscht. In b) ist es ja dann geschehen mit diesem "... wenn jedes Zimmer mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 gebucht wird". Es ist aber normalerweise nicht Usus, derartige Modellannahmen rückwärts auf andere Teilaufgaben anzuwenden.

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