Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent

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10.07.2015, 18:39	Helios7	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent Meine Frage: Eine Matrix $\begin{eqnarray} A=(a_{ji}) \in M(n \times n;K) \end{eqnarray}$ heißt echte obere Dreiecksmatrix, falls $\begin{eqnarray} a_{ji}=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i \geq j \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass eine echte obere Dreiecksmatrix A nilpotent ist, d.h. es existiert ein $\begin{eqnarray} m \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A^{m} =0 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Multipliziert man eine echte obere Dreiecksmatrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ n-mal mit sich selbst, so gilt: $\begin{eqnarray} Bild(A^{n}) \subseteq Bild(A^{n-1}) \subseteq ... \subseteq Bild(A^{2}) \subseteq Bild(A) \end{eqnarray}$ . Als Hinweis ist folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} A\cdot span(e_{1},...,e_{i}) = span(Ae_{1},...,Ae_{i}) \subset span(e_{1},...,e_{i-1}) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} e_{i} \in K^{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=(e_{1},...,e_{n}) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} K^{n} \end{eqnarray}$ ist. Wieso geht der span bis $\begin{eqnarray} e_{i-1} \end{eqnarray}$ ??? Mit dieser Überlegung folgt: $\begin{eqnarray} A^{n}\cdot span(e_{1},...,e_{n}) \subseteq A^{n-1}\cdot span(e_{1},...,e_{n-1}) \subseteq ... \subseteq A^{1}\cdot span(e_{1}) \subseteq A^{0}\cdot span({}) = {0} \end{eqnarray}$ Auch hier die gleiche Frage: Wieso wird der span um einen Einheitsvektor verringern???
10.07.2015, 19:31	Helios7	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent Auf meiner ersten Frage konnte ich mir mittlerweile helfen.. Sei $\begin{eqnarray} A(3\times3;K) = \begin{pmatrix} 0 & a_2 & a_3 \\ 0 & 0 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , So kann $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} span(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\1 \\0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ erzeugt werden. Aus dieser Überlegung folgt: $\begin{eqnarray} A\cdot span(e_{1},...,e_{i}) = span(Ae_{1},...,Ae_{i}) \subset span(e_{1},...,e_{i-1}) \end{eqnarray}$ Somit wäre nur folgendes zu klären: $\begin{eqnarray} A^{n}\cdot span(e_{1},...,e_{n}) \subseteq A^{n-1}\cdot span(e_{1},...,e_{n-1}) \subseteq ... \subseteq A^{1}\cdot span(e_{1}) \subseteq A^{0}\cdot span({}) = {0} \end{eqnarray}$ 1. Wird $\begin{eqnarray} A^{n} \end{eqnarray}$ als eine Matrix ( $\begin{eqnarray} A^{n \times n} \end{eqnarray}$ ) oder als Potenz ( $\begin{eqnarray} A^{n} \end{eqnarray}$ ) angesehen??? 2. Was kann man daraus folgen?
10.07.2015, 21:11	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent zu 1. $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ ist eine Potenz von A zu 2. Beachte $\begin{eqnarray} Bild(A^n)= A^{n}\cdot span(e_{1},...,e_{n}) \subseteq \ldots \subseteq A^{1}\cdot span(e_{1}) =\{0\} \end{eqnarray}$
10.07.2015, 22:00	Helios7	Auf diesen Beitrag antworten »
Das verwirrt einem.. Kannst du mir das vllt an dem folgendem Beispiel erklären?.. Sei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man sieht: $\begin{eqnarray} Bild(A^{3}) \subseteq Bild(A^{2}) \subseteq Bild(A^{1}) \end{eqnarray}$ Mit der alternativen Schreibweise: $\begin{eqnarray} A^{3} \cdot span(e_{1},e_{2},e_{3}) \subseteq A^{2} \cdot span(e_{1},e_{2}) \subseteq A^{1} \cdot span(e_{1})=0 \end{eqnarray}$ Fragen: 1. Ich multipliziere A^3 mit span(e1,e2,e3) und erhalte die volle Matrix A^3 dessen Bild eine echte Teilmenge vom Bild der Matrix A^2 ist. Warum steht dort echte Teilmenge von A^2 span(e1,e2)? Wie ist das zu verstehen? 2. A^2 multipliziert mit span(e1,e2) ergibt: die ersten zwei Spalten von A^2 oder sind damit die letzten zwei Spalten gemeint? 3. Warum steht am Ende: A^1 multipliziert mit den Einheitsvektor e1 ergibt {0}.
10.07.2015, 23:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorweg: Die Inklusionskette $\begin{eqnarray} Bild(A^{n}) \subseteq Bild(A^{n-1}) \subseteq ... \subseteq Bild(A^{2}) \subseteq Bild(A) \end{eqnarray}$ gilt immer. Sie hat nichts mit Dreiecksmatrizen zu tun. Hier braucht man sie auch nicht. Man kann sie auch schreiben als $\begin{eqnarray} A^{n} \cdot span(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}) \subseteq A^{n-1} \cdot span(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}) \subseteq \ldots \subseteq A^{1} \cdot span(e_{1},e_{2},\ldots,e_{n}) \end{eqnarray}$ aber das ist etwas ganz anderes als $\begin{eqnarray} A^{3} \cdot span(e_{1},e_{2},e_{3}) \subseteq A^{2} \cdot span(e_{1},e_{2}) \subseteq A^{1} \cdot span(e_{1})=0 \end{eqnarray}$ Vielleicht stammt daher deine Verwirrung. zu 1 und 2: Deine Aussage "Ich multipliziere A^3 mit span(e1,e2,e3) und erhalte die volle Matrix A^3 " verstehe ich nicht. Was ist die volle Matrix? $\begin{eqnarray} A^{2} \cdot span(e_{1},e_{2}) = \{A^2x \mid x\in span(e_{1},e_{2})\} \end{eqnarray}$ ist das Bild der Menge $\begin{eqnarray} span(e_{1},e_{2}) \end{eqnarray}$ unter der Abbildung $\begin{eqnarray} A^{2} \end{eqnarray}$ . Das sind alle Linearkombinationen der ersten und zweiten Spalte von $\begin{eqnarray} A^{2} \end{eqnarray}$ . Probier das an deinem Beispiel aus. zu 3: Auch das kannst du an deinem Beispiel einfach mal ausrechnen und dir dann überlegen, warum das für echte obere Dreiecksmatrizen immer gilt. Die $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ ist hier natürlich die Menge, die nur den Nullvektor des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ enthält.
11.07.2015, 00:25	Helios7	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A^{3} \cdot span(e_{1},e_{2},e_{3}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{2} \cdot span(e_{1},e_{2}) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{1} \cdot span(e_{1}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^{3} \cdot span(e_{1},e_{2},e_{3}) \subseteq A^{2} \cdot span(e_{1},e_{2}) \subseteq A^{1} \cdot span(e_{1}) \subseteq (0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \subseteq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \subseteq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Frage: Alles schön und gut aber was habe ich jetzt davon? bzw. wie wurde gezeigt, dass $\begin{eqnarray} A^{3} = 0 \end{eqnarray}$ ist?
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11.07.2015, 08:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das folgt schon aus $\begin{eqnarray} Bild(A^n) \subseteq \{0\} \end{eqnarray}$ . Alternativ: Die i-te Spalte von $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ bekommst du durch $\begin{eqnarray} A^ne_i \end{eqnarray}$ und wegen $\begin{eqnarray} A^ne_i \in A^{n}\cdot span(e_{1},...,e_{n}) \subseteq \{0\} \end{eqnarray}$ ist also jede Spalte von $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ gleich Null.
11.07.2015, 09:26	Helios7	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist so offensichtlich, dass ich es nicht gesehen hab... Danke für die Hilfe URL!
11.07.2015, 10:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

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