Fixpunktiteration

12.07.2015, 16:24

Rivago

Fixpunktiteration

Gegeben seien die Funktionen g und h mit $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{2}(x + e^{-x}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac{1}{6}(5x + e^{-x}) \end{eqnarray*}$ . Beide besitzen den selben Fixpunkt. Berechnen Sie mit dem Startwert $\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \end{eqnarray*}$ die ersten drei Schritte der Fixpunktiteration für g und h. Führen Sie dann auch noch die ersten drei Schritte des Newton-Verfahrens für eine der beiden Funktionen durch. Vergleichen Sie die Verfahren anhand der berechneten Werte.

Ich hab g nach x umgestellt und erhalte $\begin{eqnarray*} x = -e^{-x} \end{eqnarray*}$

Setze ich nun die Werte ein, erhalte ich der Reihe nach:

$\begin{eqnarray*} -0,3678794412 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1,444667861 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -4,240443492 \end{eqnarray*}$

Aber was genau sagt mir das jetzt? Hab ich das überhaupt richtig gemacht?

12.07.2015, 16:34

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fixpunktiteration

Zitat:

Original von Rivago
Ich hab g nach x umgestellt und erhalte $\begin{eqnarray*} x = -e^{-x} \end{eqnarray*}$

Das Minus vor dem e ist falsch.

Sieht man auch daran, dass $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ keine Selbstabbildung für x>0 sein kann.

12.07.2015, 16:40

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum ist das falsch? unglücklich

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}e^{-x} = \frac{1}{2}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -e^{-x} = x \end{eqnarray*}$

Ich versteh das ganze Verfahren überhaupt nicht.. Was ist denn mein Ziel? Eine Nullstelle wird es bei dieser Funktion ja nicht geben, also versuche ich auch nicht die Nullstelle zu bestimmen. Was dann? verwirrt

12.07.2015, 16:46

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich versteh das ganze Verfahren überhaupt nicht.. Was ist denn mein Ziel?

Dein Ziel ist es, einen Fixpunkt zu finden (bzw. nur die ersten drei Schritte der Iteration zu rechnen). Ein Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erfüllt $\begin{eqnarray*} f(x^*) = x^* \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Eine Nullstelle wird es bei dieser Funktion ja nicht geben, also versuche ich auch nicht die Nullstelle zu bestimmen.

Korrekt, aber warum fängst du dann mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(x+e^{-x})=0 \end{eqnarray*}$

an?

12.07.2015, 16:58

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Also in meinem Skript steht:

Beim Fixpunktiteration-Verfahren muss die Gleichung zuerst in die sogenannte Fixpunktgleichung umgeformt werden: $\begin{eqnarray*} x = \varphi (x) \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ heißt die Iterationsfunktion und soll folgende Bedingungen erfüllen:

- $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ soll im Intervall $\begin{eqnarray*} I = [a;b] \end{eqnarray*}$ stetig und differenzierbar sein
- es existiert $\begin{eqnarray*} K < 1 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \varphi '(x) \le K \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in I \end{eqnarray*}$

Das ist ja das, was du gesagt hast, oder?

Also suche ich jetzt eine Funktion, deren Ableitung kleiner gleich K ist?

Magst du mal nen Anfang machen?

12.07.2015, 17:04

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Also das mit der Ableitung ist zwar auch wichtig (das ist die s.g. Kontraktionseigenschaft), aber die ist für diese Aufgabe nicht relevant. Man benötigt das sonst eher um ein geeignetes Intervall und einen Startwert zu finden, aber den hast du ja schon gegeben. Du sollst im ersten Teil der Aufgabe nur die drei ersten Schritte der Fixpunktiteration rechnen, mehr nicht.

Du hattest am Anfang schon alles richtig gemacht, nur dass deine Ausgangsgleichung falsch war. Da du einen Fixpunkt suchst, musst du mit einer Fixpunktgleichung anfangen und nicht mit einer Gleichung für eine Nullstelle, also mit:

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}(x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

12.07.2015, 17:09

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also setze ich da jetzt einfach nur noch die Werte an..

$\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \ \ \to 0,6839397206 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0,6839397206 \ \ \to 0,5942823551 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0,5942823551 \ \ \to 0,5731204445 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Und jetzt bei der 2. auch so? Oder nicht? Weil da gibt es ja eine Nullstelle.. Such ich da also wieder die Nullstelle?

Achso, nee.. ich soll ja den Fixpunkt suchen, also ist es bei der 2. Funktion analog zur ersten, oder?

12.07.2015, 17:16

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rivago
Okay, also setze ich da jetzt einfach nur noch die Werte an..

$\begin{eqnarray*} x_0 = 1 \ \ \to 0,6839397206 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 0,6839397206 \ \ \to 0,5942823551 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = 0,5942823551 \ \ \to 0,5731204445 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Ja das stimmt so. Das gleiche machst du auch mit der zweiten Funktion.

Zitat:

Achso, nee.. ich soll ja den Fixpunkt suchen, also ist es bei der 2. Funktion analog zur ersten, oder?

Genau du suchst einen Fixpunkt und keine Nullstelle.

12.07.2015, 17:25

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich für h(x) folgende Werte:

0,8946465735

0,8136641508

0,7519252959

Muss ich jetzt noch alle 6 Werte zusammenrechnen und den Mittelwert bilden?

Für das Newton-Verfahren wähle ich dann wieder diese Formel? : $\begin{eqnarray*} x_{n + 1} = x_0 - \frac{f(x)}{f'(x)} \end{eqnarray*}$

12.07.2015, 17:29

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein du brauchst hier nichts mitteln. Einfach nur die Werte berechnen, um sie dann mit Newton vergleichen zu können (die Aufgabe ist wirklich nicht sehr spannend oder aussagekräftig, es geht nur drum, mal die Iterationen zu berechnen).

So mit Newton sucht man ja eigentlich eine Nullstelle. Du sollst aber einen Fixpunkt berechnen. Dazu fängst du wieder mit der Gleichung

$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{2}(x+e^{-x}) \end{eqnarray*}$

an und musst die erstmal so umstellen, dass du Newton anwenden kannst (also in eine 'Nullstellengleichung' umformen). Ist nicht schwer, aber sonst klappts halt nicht.

Das was dann auf der einen Seite der Gleichung steht, ist dein f für Newton.

12.07.2015, 17:31

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Also so?

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{2}(x+e^{-x}) - x \end{eqnarray*}$

12.07.2015, 17:47

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

12.07.2015, 18:22

Rivago

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, habs dann jetzt..

$\begin{eqnarray*} 0,5378828427 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5669869914 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,567143286 \end{eqnarray*}$

Bei beiden kommen die selben Werte raus.

Wenn ich also beide Verfahren vergleichen soll:

Newton ist genauer/führt eher zum Ziel und hat nicht so große Abweichung von den Fixpunkten? Stimmt das so?

12.07.2015, 23:44

chrizke

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rivago
Newton ist genauer/führt eher zum Ziel und hat nicht so große Abweichung von den Fixpunkten?

Ja Newton konvergiert idR schneller. Newton hat eine quadratische Konvergenzordnung wohingegen die Fixpunktiteration linear konvergiert. Aber das kannst du natürlich nicht aus diesen Werten schließen. Es reicht wenn du angibst, dass Newton schneller zu sein scheint.

"Nicht so große Abweichung von den Fixpunkten", das mag jetzt auf den ersten Blick nach drei Iterationen so aussehen, aber der Grenzwert/Fixpunkt ist der selbe.

Neue Frage »

Antworten »

Fixpunktiteration

Verwandte Themen