Dimension und Basis von Untervektorräumen

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Tempi Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension und Basis von Untervektorräumen
Hi, es geht um folgende Untervektorräume:




Ich soll jeweils die Dimension und die Basis angeben und zeigen, dass
___________________________________________________________________________

Meine Idee:
Ich erzeuge mir zuerst mal einen Vektor der das entsprechende Kriterium erfüllt und schaue dann, wie ich diesen aus einer Basis heraus zusammenstellen kann. Also nehme ich z.B. mit dem Kriterium für mit den Vektor und stelle fest, dass ich diesen aus und zusammenstellen kann. Die dritte Komponente muss ich nicht beachten, da diese durch das Kriterium schon behandelt wird. Also ist hier meine Basis und die Dimension somit

Frage:
Bevor ich jetzt (möglicherweise genauso falsch) weiter mache möchte ich erstmal von euch wissen ob meine Idee bis hierher richtig ist oder ob man das noch ein wenig allgemeiner ausdrücken kann. Freude
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Dir den Sachverhalt anhand eines Beispiels klarzumachen, ist immer ganz hilfreich.
Du solltest das jedoch schon allgemein nachweisen.
Zudem ist dein Beispiel nicht korrekt, denn du kannst mit deinen beiden Basisvektoren nun mal nicht deinen Beispielvektor erzeugen, denn die Bilder deiner Basisvektoren haben immer x3=0.

Mal ein Anfang:

Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die Basis ? Könnte die Basis demnach nicht auch sein? Damit lässt sich doch auch mein Beispielvektor erzeugen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann ist die Basis


Ja.

Zitat:
Könnte die Basis demnach nicht auch sein?


Nein, das ist lediglich ein so genanntes Erzeugendensystem für U1.
Eine Basis ist aber ein minimales Erzeugendensystem, welches also einen Raum mit minimal möglichen Vektoren erzeugen kann und das geht bei U1 nun mal sogar mit 2 linear unabhängigen Vektoren.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay dann mache ich mal weiter...

Da ja bei immer ist, kann ich also hier die Basis nehmen.
Demnach ist auch

Nur wie zeige ich jetzt, dass ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bjoern1982
Zitat:
Könnte die Basis demnach nicht auch sein?


Nein, das ist lediglich ein so genanntes Erzeugendensystem für U1.

Nein, das ist kein Erzeugendensystem für . Es erzeugt doch sogar den ganzen .
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man das formal sauber aufschreibt, das müsste vielleicht ein anderer Mitleser ergänzen.
Rein logisch betrachtet,braucht man ja 3 linear unabhängige Vektoren um den IR³ zu erzeugen.
Die Vereinigung von B1 und B2 liefert eben solche 3 Vektoren, da einer der 4 Vektoren ja doppelt vorkommt und demnach überflüssig ist
(lineare Hülle von B1 U B2).
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vereinigung von und wäre ja dann . Den doppelten streiche ich und ich komme zu . Wenn das jetzt eine Basis vom wäre, müsste ich doch jeden Vektor aus dem damit basteln können, aber ich kann doch z.B. den Vektor gar nicht damit basteln?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit 0*b1+5*b2-5*b3 sollte das passen. Augenzwinkern
Wenn die 3 Vektoren linear unabhängig sind, dann wird das auch mit der Erzeugung des IR³ funktionieren.
Tempi Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, tatsächlich. Hammer

Dankeschön Freude
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