Metrischer Raum

13.07.2015, 20:38

JuhuMathe_

Metrischer Raum

Hey ihr Menschen,

hoffe ich poste hier richtig. Habe eine ähnliche Aufgabe hier schonmal gesehen smile

Also. Es geht um Metrische Räume und folgende Aufgabenstellung einer alten Klausur:
a) Zeigen Sie, dass im Raum $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} d( (x_{1},...,x_{n}) , (y_{1},...,y_{n}) ) = max_{1<=i<=n} |xi-yi| \end{eqnarray*}$ eine Metrik definiert wird und $\begin{eqnarray*} (R^n, d) \end{eqnarray*}$ einen metrischen Raum bilden.
Meine Idee:
So 100%ig weiß ich nicht wie ich es angehen soll, aber dachte mir Folgendes:
Z.z. ist (1) positive Definitheit, (2) Symmetrie und (3) Dreiecksungleichung.
(1) Da der Betrag von $\begin{eqnarray*} x_{i}-y_{i} \end{eqnarray*}$ berechnet wird kann nur etwas >=0 rauskommen und damit ist d(x,y) >= 0 und d(x,y) = 0 <=> x=y gegeben.
(2) Auch die Symmetrie ist gegeben, da es egal ist. ob $\begin{eqnarray*} |x_{i}-y_{i}| \end{eqnarray*}$ gerechnet wird, oder $\begin{eqnarray*} |y_{i}-x_{i}| \end{eqnarray*}$ , da es ja in Betrag steht.
(3) Hier bin ich nicht ganz sicher, wie ich das "zeigen" soll aber im Prinzip ist es klar, dass jeder "Umweg über z" >= des Weges d(x,y) ist.

Ich weiß das Ganze ist nicht grade mathematisch angegangen, aber das Zeigen/Beweisen per Umformen und Aufstellen von Gleichungen ist nicht so meins und es stand ja nicht bei der Aufgabe dabei Big Laugh

Es sollte 6Pts auf die Aufgabe geben, was meint ihr wie viel meine Antwort in etwa wert ist?

b) Prüfen Sie, ob $\begin{eqnarray*} d( (x_{1},...,x_{n}) , (y_{1},...,y_{n}) ) = |max_{1<=i<=n} x_{i}-max_{1<=i<=n} y_{i}| \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ eine Metrik definiert.

Im Prinzip gehe ich hier gleich vor und sage, dass es durch die Betragsstriche keine Rolle spielt wie rum und pipapo.
Darauf soll es 3Pts geben.

So ganz weiß ich auch noch nicht, was dieses $\begin{eqnarray*} max_{1<=i<=n} \end{eqnarray*}$ vor oder in den Betragsstrichen ausmacht und bedeutet. Kann mir das jemand verraten?
Dachte mir, das es vor dem Betrag das Maximum von allen möglichen $\begin{eqnarray*} |x_{i}-y_{i}| \end{eqnarray*}$ Ergebnissen nimmt und bei dem im Betrag jeweils das Maximale x von dem Maximalen y abzieht und dann den Betrag davon nimmt.

Was meint ihr zu meinen Ideen? smile

13.07.2015, 20:49

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Z.z. ist (1) positive Definitheit, (2) Symmetrie und (3) Dreiecksungleichung.

es fehlt noch eine Bedingugng (oder die "Postiv-Definitheit" ist unvollständig)

Zitat:

Hier bin ich nicht ganz sicher, wie ich das

Als allererstes solltest du dir hinschreiben was überhaupt genau zu zeigen ist.

Zitat:

Es sollte 6Pts auf die Aufgabe geben, was meint ihr wie viel meine Antwort in etwa wert ist?

2 punkte.

Zitat:

Im Prinzip gehe ich hier gleich vor und sage, dass es durch die Betragsstriche keine Rolle spielt wie rum und pipapo.

Im Prinzip ist das völlig nichtssagend.

Zitat:

Dachte mir, das es vor dem Betrag das Maximum von allen möglichen $\begin{eqnarray*} |x_{i}-y_{i}| \end{eqnarray*}$ Ergebnissen nimmt und bei dem im Betrag jeweils das Maximale x von dem Maximalen y abzieht und dann den Betrag davon nimmt.

Richtig.

14.07.2015, 12:02

JuhuMathe_

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Unglaublich wie viel Liebe du in deine Antwort gesteckt hast. :P

Wie kann ich es denn besser machen um mehr Punkte zu bekommen?
Kleine Hilfestellung bitte.

15.07.2015, 12:02

RavenOnJ

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Zitat:

Original von JuhuMathe_
Wie kann ich es denn besser machen um mehr Punkte zu bekommen?

Du kannst es besser machen, indem du mathematisch argumentierst, in der Sprache der Mathematik, denn die ist eindeutig. Ansonsten bekommst du halt nur 3 von 9 möglichen Punkten, o.s.ä..

Also: Die drei Axiome, die eine Metrik erfüllen muss, abarbeiten. Nur die Dreiecksungleichung ist ein klein wenig kniffliger zu zeigen.

15.07.2015, 12:24

Captain Kirk

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Zitat:

Unglaublich wie viel Liebe du in deine Antwort gesteckt hast. :P

Welche der Bedeutungen das Emoticons :P soll es denn sein?
urbandictionary.com/define.php?term=%3AP

Zitat:

Kleine Hilfestellung bitte.

Die gab es bereits:

Zitat:

Als allererstes solltest du dir hinschreiben was überhaupt genau zu zeigen ist.

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