Trapezregel, Korollar, beweis

14.07.2015, 11:05	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Trapezregel, Korollar, beweis Ich kenne die Trapezregel: Sei $\begin{eqnarray} f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist $\begin{eqnarray} \int_0^1 f(x)dx= \frac{1}{2} ((f(0)+f(1))-\frac{1}{12} f''(\epsilon) \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \epsilon \in [0,1] \end{eqnarray}$ Ein Korollar der Trapezregel lautet: Es sei $\begin{eqnarray} f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion und $\begin{eqnarray} K:=sup\{\|f''(x)\|:x \in [a,b] \} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} n \ge 1 \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl und $\begin{eqnarray} h:= \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \int_a^b f(x) dx= ( \frac{1}{2} f(a) + \sum_{v=1}^{n-1} f(a+vh) + \frac{1}{2} f(b))h +R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|R\| \le \frac{K}{12} (b-a)h^2 \end{eqnarray}$ Nun verstehe ich den Beweis für das Korollar nicht, im Sktip steht: Durch Variablentransformation erhält man $\begin{eqnarray} \int_{a+vh}^{a+(v+1)h} f(x)dx = \frac{h}{2} (f(a+vh) +f(a+(v+1)h))-\frac{h^3}{12} f''(\epsilon) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \epsilon \in [a+vh,a+(v+1)h] \end{eqnarray}$ . Summation über v ergibt die Behauptung. FRAGE: Die Transformation ist ja $\begin{eqnarray} a+(v+x)h=\phi(x), \phi'(x)=h \end{eqnarray}$ . Aber wie kommt man auf $\begin{eqnarray} h^3 \end{eqnarray}$ als Faktor vor $\begin{eqnarray} \frac{f''(\epsilon)}{12} \end{eqnarray}$ ??? LG, MaGi

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