Inverse Matrix bilden

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14.07.2015, 15:18	dasboot	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Matrix bilden Meine Frage: Für welche (x,y,z)? R^3 ist f invertierbar? x^2 + 2y + z f(x,y,z):=( y -3x -2z ) x^3 - y +z Meine Ideen: ich würde jetzt einfach wie üblich vorgehen. Matrix so hinschreiben: 1 2 1 1 -3 -2 1 -1 1 und dann einfach inverse bilden nach gauß
14.07.2015, 16:03	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab eine Weile gebraucht, um darauf zu kommen, daß man sich die erste und dritte Zeile eingerückt denken muß... Du wirst, wenn Du das so machst, irgendwann einen Schritt haben, den du unter bestimmten Bedingungen nicht ausführen kannst, und so zum richtigen Ergebnis kommen. Das ist eine mögliche und auch völlig saubere Lösung. Einfacher wird es aber sein, die Determinante der Matrix zu bilden.
14.07.2015, 16:11	dasboot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich werde mal die komplette Aufgabe hinschreiben, vlt. habe ich die aufgabe ja auch nur falsch verstanden. Gegeben sie die Funktion f: R^3 -> R^3 durch (x^2 + 2y + z) f(x,y,z):=(y -3x -2z) (x^3 -y +z) Berechnen sie die Jacobi Matrix von f. Für welche (x,y,z) € R^3 ist f invertierbar? Berechnen Sie für diese (x,y,z) die Jacobi Matrix der inversen Abbildung, d.h. berechnen Sie D(f^-1). Vielleicht soll man zunächst Jacobi Matrix berechnen die in diesem Fall so aussieht denke ich mal: (2x 2 1) Jf(x,y,z)= (-2 1 -2) (3x^2 -1 1) und dann die Inverse davon bilden? Wobei ich dabei auch auf Probleme stoße. Was bringt es den die Determinante zu berechnen, was sagt diese aus ? Danke für eure Hilfe
14.07.2015, 16:16	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, in diesem Fall mußt Du natürlich tatsächlich die Inverse ausrechnen. Die Determinante einer Matrix ist genau dann verschieden von Null, wenn die Matrix nicht invertierbar ist. Das ist eigentlich Wissen aus Linearer Algebra 1. Hast Du das einfach nur vergessen oder hast Du das aus irgendeinem Grund gar nicht gehört? Für den Rest der Aufgabe soll man natürlich den Satz von der inversen Abbildung benutzen.
14.07.2015, 16:21	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, ich hab vorhin gar nicht richtig gelesen. Wenn Du das tatsächlich so machst, wie unter "meine Ideen" angegeben, kommst Du nicht zum richtigen Ergebnis. Du mußt schon wirklich die Jacobi-Matrix invertieren, das heißt, Du mußt symbolisch mit "2x" usw. rechnen. EDIT: Entschuldigung, ich weiß auch nicht, was heute los ist... Ist das wirklich die Aufgabenstellung? Denn was dort angegeben ist, ist keine Funktion R³->R³. Die wäre von der Form $\begin{eqnarray} f(x, y, z) = \begin{pmatrix} x^2 \\ 2x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (z.B.) Was Du da hast, ist eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^3 \to \operatorname{Mat} (3, 3; \mathbb R) \cong \mathbb{R}^9 \end{eqnarray}$ , die Jacobi-Matrix wäre dann also ein bißchen größer.
14.07.2015, 16:35	dasboot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja das ist die originale Aufgabenstellung. Ich habe jetzt die Jacobi Matrix berechnet wie soll ich nun weitervorgehen, die Determinante bestimmen oder einfach die Inverse bilden nach gauß? Denn wenn ich versuche die Jacobi Matrix zu inventieren komme ich nicht weiter, da ihc nach 2 schritten zu dem Punkt komme: (2x 2 1 / 1 0 0 ) (0 2x+6 -4x+3/ 3 2x 0 ) (0 -2x-6x 2-3x/ -3x 0 2 ) hier weis ich jetzt nicht wie ich die -2x-6x wegbekommen soll.
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14.07.2015, 16:44	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht kann sich ja noch jemand anderes dazu äußern, aber je länger ich darüber nachdenke, desto weniger Sinn sehe ich in der Aufgabe. Kann es vielleicht sein, daß das drei Fälle sind, die man getrennt voneinander diskutieren soll? Denn ich lese das jetzt als $\begin{eqnarray} f(x, y, z) := \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , aber vielleicht ist ja $\begin{eqnarray} f(x, y, z) := \begin{cases} (a, b, c)\\(d, e, f) \\ (g, h, i) \end{cases} \end{eqnarray}$ gemeint? Eine Abbildung R³->Mat(3,3;R) hat auch gar keine Chance, invertierbar zu sein.
14.07.2015, 18:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
@Jayk Ich würde mal davon ausgehen, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f(x, y, z) = \begin{pmatrix} x^2 + 2y + z \\ y - 3x - 2z \\ x^3 - y + z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gemeint ist. Die Aufgabenstellung (im Original) ist schon relativ schwachsinnig. Was wohl gemeint ist: Um welche $\begin{eqnarray} (x,y,z) \end{eqnarray}$ gibt es eine offene Umgebung, s.d. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ lokal invertierbar ist. Punktweise ist Invertierbarkeit nämlich witzlos, denn $\begin{eqnarray} g : A \to B \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A, B \end{eqnarray}$ einelementig ist immer invertierbar.
14.07.2015, 20:57	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
@IfindU: Daß nach der lokalen Invertierbarkeit gefragt ist, hab ich schon so aufgefaßt (daher auch mein Hinweis auf den Satz von der inversen Funktion). Aber die Funktion war schon schwer lesbar (obwohl ich mich jetzt frage, wie ich das anders auffassen könnte). Danke! @dasboot: Könntest Du bitte versuchen, LaTeX zu benutzen? Eine Matrix bekommst Du mit \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{pmatrix} Wenn Du die Jacobi-Matrix ausgerechnet hast, mußt Du herausfinden, wann sie invertierbar ist, und ihre Inverse ausrechnen. Ich weiß nicht, warum die -2x-6x weg haben willst, denn das Ergebnis sollte erwartungsgemäß von x,y,z abhängen. Wie gesagt, Du mußt symbolisch umformen.

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