Ableitung vereinfachen

16.07.2015, 02:14

nullnull

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Ableitung vereinfachen

Ich habe folgende Funktion

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+3x+2}{x^2-1 }<br /> \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis lautet (laut Ableitungsrechner)
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{x^2-2x+1 }<br /> \end{eqnarray*}$
Faktorisiert
$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{(x-2)^2 }<br /> \end{eqnarray*}$

Ich komme einfach nicht auf das Ergebnis.
Ich benutze die Quotientenregel
und komme auf folgendes
$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+3)*(x^2-1)-2x*(x^2+3x+2)}{(x-2)^2 }<br /> \end{eqnarray*}$

Kann mir bitte einer Schritt für Schritt erklären, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht bzw. vereinfacht.
Ich habe soviel gelernt für die Differentialrechnung, außer für diesen Typ von Aufgaben, da ich diese nicht nachvollziehen konnte.
Und was kam in der Klausur, richtig.....

16.07.2015, 05:11

Gast11022013

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Zu erst einmal kannst du gucken, ob sich kürzen lässt. Das macht das ganze schon mal einfacher.

Zitat:

Kann mir bitte einer Schritt für Schritt erklären, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht bzw. vereinfacht.

Eine Universalerklärung gibt es leider nicht.
Man muss natürlich die Ableitungsregel kennen und richtig anwenden.
Am besten geht man strukturiert vor, vor allem wenn man Probleme hat.

Notiere dir also im Vorfeld die einzelnen "Bausteine" also u, u', v und v'.
Nun setze sie gemäß der Regel zusammen.

Dann lässt sich meistens ausklammern und zusammenfassen.

Zu deiner Rechnung:

Der Zähler sollte richtig sein.
Der Nenner aber nicht, wie kommst du darauf.

Wie gesagt: Versuche zu erst zu kürzen.
Suche nach Nullstellen die die Zählerfunktion und Nennerfunktion gemeinsam haben. Es kommen nur 2 Werte in Frage. Welche?

17.08.2015, 16:01

nullnull

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Erst einmal sroyy, das ich so spät Antworte.
Ich war leider aufgrund einiger Probleme länger verhindert.
So wie ich es jetzt laut der Antwort interpretiere, muss ich nach gemeinsamen Nullstellen suchen, was dann?
Nenner ist natürlich falsch, habe mich verschrieben

17.08.2015, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von nullnull
So wie ich es jetzt laut der Antwort interpretiere, muss ich nach gemeinsamen Nullstellen suchen, was dann?

Das hat MagFasstLehrt zweimal gesagt: Kürzen!!!

20.08.2015, 13:33

nullnull

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Die gemeinsame Nullstelle liegt bei -1, richtig?
ich habe mich wahrscheinlich falsch ausgedrückt.
Wie kürze ich nun mit dieser Nullstelle? Kann man das bitte einer erklären?

20.08.2015, 13:55

klarsoweit

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Kürze durch (x - "gemeinsame Nullstelle") . Dazu mußt du
- entweder mit jedem Polynom eine Polynomdivision machen
- oder das jeweilige Polynom faktorisieren (z.B. mit 3. binomischer Formel)

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20.08.2015, 15:00

nullnull

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Ist mein vorgehen so richtig?

Durch Nullstellen ermittelt

Zähler:

$\begin{eqnarray*} (x-1) * (x-2) \end{eqnarray*}$

Nenner:

$\begin{eqnarray*} (x+1) * (x-1) \end{eqnarray*}$

Wird zu $\begin{eqnarray*} \frac{(x-1) * (x-2)}{(x+1) * (x-1)} \end{eqnarray*}$

Gekürzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(x-2)}{(x+1)} \end{eqnarray*}$

Quotientenregel:

u = x-2 u'= 1
v= x+1 v'= 1
Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{-3}{(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Allerdings scheint mein Nenner nicht richtig zu sein

20.08.2015, 15:03

HAL 9000

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Im Zähler oben stand $\begin{align*} x^2{\color{red}+}3x+2 \end{align*}$ , und das hat die Faktorisierung $\begin{align*} (x{\color{red}+}1)\cdot (x{\color{red}+}2) \end{align*}$ .

20.08.2015, 15:14

nullnull

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Dies hätte aber dann zur folge:

$\begin{eqnarray*} \frac{+3}{(x-1)^2} \end{eqnarray*}$

Das würde dann wieder nicht zum Ergebnis passen.

Die Nullstellen des Zählers lauten -1 und -2

ich habe das so verstanden, dass ich mit diesen Werten faktorisiere.

20.08.2015, 15:22

HAL 9000

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Es passt perfekt zum Ergebnis - das Problem ist, dass du in einem fort Vorzeichenfehler begehst. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Z.B. bei der Faktorisierung: Ein quadratisches Polynom mit den Nullstellen $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ besitzt eben nicht die Faktorisierung $\begin{align*} (x+x_1)(x+x_2) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} (x-x_1)(x-x_2) \end{align*}$ .

Und weiter: $\begin{align*} \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+2}{x-1} = 1+ \frac{3}{x-1} \end{align*}$ ergibt abgeleitet $\begin{align*} -\frac{3}{(x-1)^2} \end{align*}$ , genau wie es oben steht.

20.08.2015, 15:30

nullnull

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Oh, ich sehe gerade, dass ich das Ergebnis des Ableitungsrechners falsch eiingetippt habe.
Ich habe als Ergebnis (x-2)^2 im Nenner stehen was natürlich falsch ist.
Kein Wunder, dass ich nicht auf das Ergebnis komme.
(x-1)^2 ist natürlich richtig.

20.08.2015, 15:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von nullnull
Ich habe als Ergebnis (x-2)^2 im Nenner stehen was natürlich falsch ist.

Nur einer von vielen Fehlern - nicht der, auf den man alles schieben kann.

20.08.2015, 15:44

nullnull

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Es fehlen mir leider bei einigne Sachen die Grundlagen.
Das ist halt das Problem, wenn man nach Jahren wieder mit Mathe konfrontiert wird.

20.08.2015, 15:48

nullnull

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es passt perfekt zum Ergebnis - das Problem ist, dass du in einem fort Vorzeichenfehler begehst. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Z.B. bei der Faktorisierung: Ein quadratisches Polynom mit den Nullstellen $\begin{align*} x_1,x_2 \end{align*}$ besitzt eben nicht die Faktorisierung $\begin{align*} (x+x_1)(x+x_2) \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} (x-x_1)(x-x_2) \end{align*}$ .

Und weiter: $\begin{align*} \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x+2}{x-1} = 1+ \frac{3}{x-1} \end{align*}$ ergibt abgeleitet $\begin{align*} -\frac{3}{(x-1)^2} \end{align*}$ , genau wie es oben steht.

Wie kommst du auf die $\begin{eqnarray*} 1+\frac{3}{(x-1)} \end{eqnarray*}$ (auf 1 +3)

Ist das wieder eine Regel, die man Beachten muss?

20.08.2015, 15:55

HAL 9000

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$\begin{align*} \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{3}{x-1} = 1 +\frac{3}{x-1} \end{align*}$

20.08.2015, 16:03

nullnull

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Danke für deine Geduld und Hilfe.
Wie erkenne ich jedoch, das ich so vorgehen muss wie du es machst.
Ich für meinen Teil würde sofort Ableiten, ohne halt diesen Zwischenschritt zu machen, wie du es gemacht hast.

20.08.2015, 16:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von nullnull
Wie erkenne ich jedoch, das ich so vorgehen muss wie du es machst.

Musst du ja nicht - es vereinfacht nur die Dinge.

Du kannst auch den Ausgangsbruch normal per Quotientenregel ableiten, dauert halt etwas länger. Viele Wege führen nach Rom.

20.08.2015, 16:36

nullnull

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$\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x-1} \end{eqnarray*}$

Ich würde ab diesen Punkt ganz normal per Quotientenregel Ableiten was jedoch zur Folge hätte, dass ich +3 als Ergebnis erhalte.
Oder übersehe ich etwa irgendwas

20.08.2015, 16:47

HAL 9000

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Quotientenregel:

$\begin{align*} \left( \frac{x+2}{x-1} \right)' = \frac{(x+2)'(x-1)-(x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{1\cdot (x-1)-(x+2)\cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-2}{(x-1)^2}= \frac{-3}{(x-1)^2} \end{align*}$

Wie ich schon sagte, irgendwie stehst du mit Vorzeichen auf Kriegsfuß.

20.08.2015, 16:57

Mathema

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{align*} \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{3}{x-1} = 1 +\frac{3}{x-1} \end{align*}$

Alternativ kann man auch eine (einfache) Polynomdivision durchführen. Das Prinzip bzw. der Grundgedanke zu HAL`s Weg ist quasi identisch, aber vll ist dir aus der Schule die Notation bzw. der Weg als "schriftliche Division" etwas vertrauter. Also:

$\begin{eqnarray*} (x+2) : (x-1)=... \end{eqnarray*}$

Nach einem Schritt bist du auch schon fertig.

Dann noch Tipp:

Zitat:

Ich würde ab diesen Punkt ganz normal per Quotientenregel Ableiten was jedoch zur Folge hätte, dass ich +3 als Ergebnis erhalte.
Oder übersehe ich etwa irgendwas?

Wir können hier vieles, aber Hellsehen leider nicht. Falls du also ein falsches Ergebnis hast und den Fehler benannt haben möchtest, poste doch am besten dein Rechenweg.

Wink

Wink

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