Polynom in Koordinaten einer anderen Basis schreiben

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Skulli Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom in Koordinaten einer anderen Basis schreiben
Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich stecke bei einer Aufgabe fest, ich komme irgendwie nicht weiter.

Gegeben:

P2, der reelle Vektorraum der reellen Polynome von Grad kleiner oder gleich 2.






Gesucht:

p(x) in den Koordinaten der Basis B.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

Ich suche also die Transformationsmatrix T (um von der neuen in die alte Basis zu transformieren), .

In der Zusammenfassung steht: "Die Spalten von T sind die Basisvektoren von B dargestellt in der Basis P." Ich komme irgendwie nicht drauf, wie man sich das vorstellen kann?

Nun gut, ich mache das


Jetzt bevor ich überhaupt berechne fällt auf, dass ich den Vektor

gar nicht mit der Matrix T multiplizieren kann, also AT ist nicht möglich, da A eine 3x1-Matrix ist und T eine 3x3-Matrix.


Steckt da irgendwo ein Überlegungsfehler? Ich bin dankbar um jede Hilfe.


Liebe Grüsse
Skulli
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynom in Koordinaten einer anderen Basis schreiben
Sieht für mich zunächst schlicht so aus, dass Du p(x) als Linearkombination der b1, b2, b3 schreiben sollst, also für

die Koordinaten bestimmen.
Wenn das so ist, gäbe es nur 1 Gleichungssystem zu lösen.

Andererseits kann man natürlich mit wenig mehr Aufwand die Matrix bestimmen, die allgemein Koordinaten zur Standardbasis in Koordinaten zur Basis B umrechnet, und dann den Vektor

mit dieser Matrix multiplizieren. Und zwar "von links", dann passen auch die Formate.

Was soll es also sein?
Skulli Auf diesen Beitrag antworten »



Eigentlich ganz einfach, danke Freude


Doch damit ich das Thema verstehen kann, möchte ich doch noch einmal nachfragen, wie man bei deinem 2. Vorschlag vorgehen kann.
Man sucht die Inverse der Transformationsmatrix T (da T in meinem oben beschriebenen Fall die Transformationsmatrix von der neuen zur alten beschreibt). Das wäre


Wenn ich nun rechne


Dann sollte ich laut Formel noch mit T multiplizieren, was wieder zum selben Problem führt, ist nicht möglich. Ich glaube irgendwo hakt es bei mir noch ziemlich, irgendwo habe ich noch einen Knoten... Wie meinst u denn das genau, wenn man deinen 2. Ansatz brauchen sollte?

Danke nochmals für deine Hilft
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Es kommt natürlich zusätzlich darauf an, was mit den Koordinaten zu den verschiedenen Basen passieren soll. Von der Standardbasis in eine andere Basis umrechnen tut man z. B., wenn man eine lineare Abbildung vornehmen will, deren Matrix sich zu der anderen Basis leichter darstellen läßt. Sowas liegt hier aber bisher nicht vor. Wir haben hier nur Koordinaten umgerechnet.
Allerdings sind Deine Ergebnisse falsch. Die Koordinaten von p(x) zur Basis B lauten

Ansonsten würde der 2. Weg darin bestehen, dass man, wenn man mehrere Polynome von der Standardbasis zur Basis B umrechnen will, nicht jedesmal das Gleichungssystem löst, sondern die Transformationsmatrix benutzt.
Würden wir also als nächstes

betrachten, würden wir mit

die Koordinaten von q(x) zur Basis B erhalten.
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