Separables Polynom

18.07.2015, 23:33

Emilia3.14

Separables Polynom

Meine Frage:
Hallo smile

Es ist zZ $\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$ hat in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ keine mehrfachen Nullstellen.

Meine Ideen:
Meine Idee: Ich zeige, f ist seperabel, indem ich ggT(f,f')=1 zeige.

Es ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k x^{k-1} }{k!} \end{eqnarray*}$

Also f'(x)= k/x f(x) . Damit aber ggt gerade nicht = 1 ?

Irgendwo ist da ein dummer Denkfehler, schonmal danke fürs Helfen !

Edit (mY+): Separabel (!) Thementitel modifiziert.

19.07.2015, 08:48

ollie3

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RE: Separables Polynom
hallo,
deine rechnung ist falsch, f und f' sind tatsächlich immer teilerfremd. Probier das
mal mit kleinen n, z.b. n=2 aus, berechne f dividiert durch f', und du wirst feststellen,
das da immer der rest 1 übrigbleibt Augenzwinkern

gruss ollie3

19.07.2015, 08:49

Leopold

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Was machst du denn da! Mir scheint, du ignorierst völlig das Summenzeichen und führst so eine Art summandenweises Dividieren durch.

In diesem Spezialfall gilt:

$\begin{align*} f(x) = \frac{x^n}{n!} + f'(x) \end{align*}$

Leite diese Gleichung her. Angenommen, $\begin{align*} x=a \end{align*}$ wäre eine gemeinsame Nullstelle von $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} f' \end{align*}$ . Was würde daraus folgen?

19.07.2015, 13:56

Emilia3.14

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Erstmal danke ihr beiden!

Habe das nun erstmal für n=2 ausprobiert und komme auf $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{2!} +x+1 =(x+1)(\frac{x}{2!}+\frac{1}{2} ) +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die Ableitung "hinkt" ja sozusagen der Funktion mit einem Glied hinterher. Habe dann auch das rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} x^{k}\frac{1}{k!} = \sum\limits_{k=0}^{n-1} x^{k} \frac{1}{k!} + \frac{x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$
Nur mit deinem Tipp Leopold komme ich noch nicht weiter. Es soll ja $\begin{eqnarray*} f(a)=0=f'(a) \Rightarrow 0=\frac{a^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ für ein n sein. Müsste nun nicht $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ gelten? Aber $\begin{eqnarray*} f(0)=1=f'(0) \end{eqnarray*}$ ?

19.07.2015, 14:56

Leopold

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Zitat:

Original von Emilia3.14
Nur mit deinem Tipp Leopold komme ich noch nicht weiter. Es soll ja $\begin{eqnarray*} f(a)=0=f'(a) \Rightarrow 0=\frac{a^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$ für ein n sein. Müsste nun nicht $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ gelten? Aber $\begin{eqnarray*} f(0)=1=f'(0) \end{eqnarray*}$ ?

Dabei bist du längst am Ziel. Du mußt nur alles logisch korrekt zusammenfügen.

19.07.2015, 16:45

Emilia3.14

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Muss etwa n=1 gelten und a kann somit nur einfache Nullstelle sein?

Beim Zusammenfügen komme ich gerade nicht wirklich weiter unglücklich

Am Ende müsste ich doch so etwas wie $\begin{eqnarray*} f(x) = p(x) f'(x) + 1, \exists p(x) \end{eqnarray*}$ stehen haben.

19.07.2015, 16:57

Leopold

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1. Du hast einfach einmal etwas angenommen, nämlich daß ein $\begin{align*} a \in \mathbb{R} \end{align*}$ sowohl eine Nullstelle von $\begin{align*} f \end{align*}$ als auch eine Nullstelle von $\begin{align*} f' \end{align*}$ ist.

2. Du hast daraus zu Recht geschlossen, daß ein solches $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ sein muß.

3. Andererseits hast du wiederum nachgerechnet, daß $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ nicht zugleich Nullstelle von $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} f' \end{align*}$ ist.

4. Das ist ein offenkundiger Widerspruch.

Was folgerst du daraus?

19.07.2015, 17:12

Emilia3.14

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Damit muss die Annahme falsch gewesen sein, es kann keine Nullstelle von f existieren, die gleichzeitig auch Nullstelle von f' ist.

19.07.2015, 18:25

Emilia3.14

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Ohje, jetzt hat es klick gemacht.
Mir war irgendwie nicht klar, dass wenn f und f' keine Nullstellen gemeinsam haben, auch ggT(f,f')=1 gilt Hammer

Danke Leopold!

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