Problem mit vollständiger Induktion

19.07.2015, 15:04

Chriszo111

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Problem mit vollständiger Induktion

Meine Frage:
Servus beinand,

ich komme bei meiner Aufgabe nicht zum Ziel und bin gerade zu blöd meine Fehler zu erkennen. Ich habe folgende Aufgabe: Für alle $\begin{eqnarray*} \mathbb N \in n \geq 1 \end{eqnarray*}$ soll folgendes gelten:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} (k-c) = \frac{1}{2} n (1 - 2c + n) , c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
I.A. für n = 1:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{1} (k - c) = 1 - c \end{eqnarray*}$

I.V. -> s.O.

I.S.:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n + 1} (k - c) + (n + 1 - c) = (\frac{1}{2} * (n + 1)) * (1 - 2c + n + 1 + n + 1 - c)<br /> = (\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}) * (1 - c + 2n + 2)<br /> = (\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2}nc + \frac{1}{2}c) + (n^{2} + n) + (n + 1)<br /> = ... <br /> = n(n + 2\frac{1}{2} - \frac{1}{2}c) + 1 \frac{1}{2} + \frac{1}{2}c<br /> \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 15:19

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n + 1} (k - c) + (n + 1 - c) \end{eqnarray*}$

Hier hast du doch den letzen Summanden schon abgespaltet. Deine Summe sollte nur noch bis n laufen, sodass du deine IV nutzen kannst.

19.07.2015, 16:04

Chriszo111

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$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n + 1} (k - c) + (n + 1 - c) = (\frac{1}{2} * (n)) * (1 - 2c + n + n + 1 - c)<br /> \end{eqnarray*}$

Ich kappiere die Logik dahinter (glaube ich), aber weiß gerade nicht wie ich diese anwenden soll.

Da ich den letzten Durchlauf sowieso schon addiere, rechne ich also mit dem n-ten Durchlauf auf der rechten Seite. Anschließend addiere ich den n + 1ten Durchlauf auf meinen letzten (n-ten) Durchlauf?

Ich glaub ich stehe gerade etwas auf dem Schlauch verwirrt

verwirrt

19.07.2015, 16:08

Mathema

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Wieso nun noch mal der gleiche Fehler? unglücklich

unglücklich

Es geht los mit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n + 1} (k - c) =\sum\limits_{k=1}^{n} (k - c)+(n+1-c)=...<br /> \end{eqnarray*}$

Nun bringst du deine IV ins Spiel und ersetzt die Summe. Was erhältst du?

19.07.2015, 16:20

Chriszo111

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n + 1 (1 - 2c + n + 1) = \frac{1}{2}n (1 - 2c + n) + (n + 1 - c)<br /> \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 16:23

Mathema

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Die letzte Klammer ist ja eine Plusklammer. Die können wir also weglassen. Dann klammerst du mal bitte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aus. Was bekommst du dann?

edit:

Dein Anfang verstehe ich übrigens überhaupt nicht, also:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n + 1 (1 - 2c + n + 1) \end{eqnarray*}$

. Das hinter dem Gleichheitszeichen ist aber richtig.

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19.07.2015, 16:36

Chriszo111

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$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{2}(n + 1 - 2c * (n + 1) + n^{2} + 2n + 1) = \frac{1}{2}(2n - n * 2c + 2n^{2} - c * n)<br /> \end{eqnarray*}$

Edit:
Der Anfang (links des = Operators) ist die I.V. für den n + 1ten Schritt, wobei ich einfach das Summenzeichen auf der linken Seite mit der I.V. erstezt habe und n + 1 statt n eingesetzt habe, ist doch theoretisch nicht falsch, da = ja bedeutet das beide Seiten gleichgesetzt sind?

19.07.2015, 16:42

Mathema

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Das stimmt leider nicht. Klammerst du aus, erhältst du:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n (1 - 2c + n) + (n + 1 - c)=\frac{1}{2}(n (1 - 2c + n) + 2n + 2 - 2c) \end{eqnarray*}$

So - nun noch mal die Klammer in der Klammer auflösen bitte.

edit: Ein Gleichheitszeichen bedeutet, dass beide Seiten deiner Gleichung Wertgleich sind. Das sind sie hier aber bestimmt nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n + 1 (1 - 2c + n + 1) = \frac{1}{2}n (1 - 2c + n) + (n + 1 - c)<br /><br /> \end{eqnarray*}$

Ohne es auszurechnen sieht man, dass auf der rechten Seite ein Term mit $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ auftritt, auf der linken Seite jedoch nicht. Das passt also nicht. unglücklich

unglücklich

19.07.2015, 16:55

Chriszo111

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n (1 - 2c + n) + (n + 1 - c)=\frac{1}{2}(n - 2c*n + n^{2} + 2n + 2 - 2c) \end{eqnarray*}$
Weiter also..
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n (1 - 2c + n) + (n + 1 - c)=\frac{1}{2}(n^{2} + 3n + 2cn + 2c + 2) \end{eqnarray*}$

Und links würde noch gehen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}n(2n - 3c + 2) = \frac{1}{2}(n^{2} + 3n + 2cn + 2c + 2) \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 17:04

Mathema

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Ich kann dir wieder nicht folgen. Wir basteln doch grade eine Gleichungskette und sind nun hier angekommen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n + 1} (k - c) =\sum\limits_{k=1}^{n} (k - c)+(n+1-c)=\frac{1}{2}n (1 - 2c + n) + (n + 1 - c)=\frac{1}{2}(n (1 - 2c + n) + 2n + 2 - 2c) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}(n - 2cn + n^{2} + 2n + 2 - 2c) \end{eqnarray*}$

So nun sortiere ich mal etwas für dich und schreibe die 2 als 1+1:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}(\textcolor{red}{n^{2} + 2n + 1} \textcolor{blue}{- 2cn-2c}+(n+1)) \end{eqnarray*}$

Einverstanden?

Der rote Teil sollte dich nun hoffentlich an was erinnern, aus dem blauen Teil kannst du hoffentlich was ausklammern.

19.07.2015, 17:17

Chriszo111

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Ah, ich hatte oben ein Vorzeichen falsch gesetzt (+ statt -) und habe n + 2n zusammen gefasst als 3n.

Wenn ich

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}(\textcolor{red}{n^{2} + 2n + 1} \textcolor{blue}{- 2cn-2c}+(n+1)) \end{eqnarray*}$

auflöse, erhalte ich

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2}(\textcolor{red}{(n + 1) * (n + 1)} - \textcolor{blue}{c(2n - 2)} + (n + 1)) \end{eqnarray*}$

19.07.2015, 17:20

Mathema

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Der rote Teil sieht gut aus - der blaue leider nicht. Klammerst du das Minus aus, gehört in die Klammer ein Pluszeichen. Zudem Klammern wir den Faktor 2 mit aus. Es ergibt sich also:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}((n+1)^2 -2c(n+1)+(n+1)) \end{eqnarray*}$

So - nun nur noch ein Schritt und wir sind am Ziel angelangt.

19.07.2015, 17:30

Chriszo111

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Habs gesehen, ich klammere n + 1 aus..

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}n + 1(n - 2c + 1) \end{eqnarray*}$

Schwere Geburt, Gleichungen stehen mir nicht Hammer

Hammer

Herzlichsten Dank für die detaillierte Erklärung der einzelnen Schritte

19.07.2015, 17:31

Mathema

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Aber bitte richtig ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}((n+1)^2 -2c(n+1)+(n+1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}(n+1)((n+1)-2c+1) \end{eqnarray*}$

Dieses galt es ja auch zu zeigen.

Gern geschehen.

Wink

Wink

20.07.2015, 15:56

RavenOnJ

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Warum hast du es dir so schwer gemacht und immer den Term mit c als Ballast mitgeschleppt? Du hättest als erstes erkennen können, dass
$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n (k-c)=\sum\limits_{k=1}^n k -\sum\limits_{k=1}^n c=-nc+\sum\limits_{k=1}^n k \end{align*}$

Es wäre dann weniger Aufwand gewesen zu beweisen, dass
$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n k =\frac 1 2 n(n+1) \end{align*}$

sowie
$\begin{align*} \sum\limits_{k=1}^n (k-c)=\frac 1 2 n(n+1-2c) \end{align*}$

20.07.2015, 16:30

Mathema

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Das stimmt wohl - ein wenig eleganter dein Weg. Freude

Freude

Ich vermute mal, dass dieser Beweis bereits in der Vorlesung als Einstieg ins Thema Induktion gelaufen ist, wenn ich mich irre, würde ich dir, Chriszo111, empfehlen den Beweis als Übung noch einmal zu machen, ich bin mir nämlich nicht sicher, ob du das Prinzip wirklich verstanden hast. Zur Not hilft dir sonst RavenOnJ bestimmt auch noch mal weiter.

20.07.2015, 17:08

Chriszo111

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Die aktuelle Aufgabe ist ein Auszug aus einer Probeklausur zu der ich keine Lösung hatte. Deshalb hab ich Hilfe gebraucht, von jemandem der Ahnung hat, da ich seit einem halben Jahr keine Induktion mehr gemacht habe. Die Aufgabe hat mir also praktisch als wiedereinstieg gedient. Mittlerweile hab ich schon einige Übungsaufgaben gemacht und bin wieder drin. Ich bin aber kein Mathegenie und hab größere Lücken was Algebra betrifft, die ich stehts füllen muss, wodurch ich mich anfangs immer etwas schwer tue. Deshalb bin ich auch sehr froh, dass Du Dir die Zeit genommen hast, was ja nicht selbstverständlich ist smile

smile

!

20.07.2015, 17:15

Mathema

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Zitat:

Mittlerweile hab ich schon einige Übungsaufgaben gemacht und bin wieder drin.

Alles klar - dann hast du es ja selbst erkannt, dass noch Übungsbedarf da ist. Sehr lobenswert. Freude

Freude

Zitat:

Deshalb bin ich auch sehr froh, dass Du Dir die Zeit genommen hast, was ja nicht selbstverständlich ist

Dafür ist dieses Forum ja da.

Wink

Wink

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