Vektorfeld zerlegen

19.07.2015, 19:54	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorfeld zerlegen Hallo, ich habe folgenden Vektorfeld: $\begin{align} \vec{F}=\begin{pmatrix} xy \\ yz \\ zx \end{pmatrix} \end{align}$ Dieses Feld möchte ich so zerlegen, dass ich einen quellenfreien (W) und einen wirbelfreien (L) Anteil habe. Also $\begin{align} \vec{F}=\vec{L}+\vec{W} \end{align}$ , dabei muss $\begin{align} rot~\vec{L}=0 \end{align}$ und $\begin{align} div~\vec{W}=0 \end{align}$ gelten. Des Weiteren weiß ich, dass $\begin{align} rot~grad(\varphi(x,y,z))=0 \end{align}$ ist. Dann sollte gelten: $\begin{align} rot~\vec{L}=rot~grad(\varphi(x,y,z))=0 \end{align}$ Wie bestimme ich daraus $\begin{align} \vec{L} \end{align}$ bzw. $\begin{align} grad~\varphi \end{align}$ oder $\begin{align} \varphi \end{align}$ ? Um $\begin{align} \vec{W} \end{align}$ zu berechnen, muss ich nur die Gleichung umstellen, wenn ich $\begin{align} \vec{L} \end{align}$ berechnet habe. Ich freue mich über jegliche Hilfestellungen. Viele Grüße Xbf
19.07.2015, 20:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorfeld zerlegen Da $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ rotationsfrei sein soll, können wir uns auch fragen wie eine Zerlegung $\begin{eqnarray} F = \nabla \phi + W \end{eqnarray}$ aussieht, mit $\begin{eqnarray} L = \nabla \phi \end{eqnarray}$ . Divergenz auf beiden Seiten genommen ergibt $\begin{eqnarray} \Delta \phi = div F \end{eqnarray}$ . Es ist nicht besonders schwer ein solches $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ anzugeben (Polynom) und mit $\begin{eqnarray} W = F - \nabla \phi \end{eqnarray}$ ergibt sich wie du richtig erkannt hast der Rest.
19.07.2015, 23:16	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh super, vielen Dank IfindU $\begin{align} div ~\vec{L}=div ~\vec{F}=x+y+z=\frac{\partial ^2 \varphi (x,y,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \varphi (x,y,z)}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 \varphi (x,y,z)}{\partial z^2}\Rightarrow \varphi(x,y,z)=\frac{x^3}{6}+\frac{y^3}{6}+\frac{z^3}{6} \end{align}$ Da gilt: $\begin{align} \vec{L}=grad(\varphi(x,y,z)) \end{align}$ , folgt daraus $\begin{align} \vec{L}=\frac{x^2}{2}\vec{e_x}+\frac{y^2}{2}\vec{e_y}+\frac{z^2}{2}\vec{e_z} \end{align}$ Dementsprechend ist: $\begin{align} \vec{W}=\left (xy-\frac{x^2}{2}\right )\vec{e_x}+\left (yz-\frac{y^2}{2}\right )\vec{e_y}+\left (zx-\frac{z^2}{2}\right )\vec{e_z} \end{align}$
20.07.2015, 05:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön (Schätze du wolltest es im Forum nur kurz Fassen, aber aus $\begin{eqnarray} \Delta \phi = x + y + z \end{eqnarray}$ folgt nicht zwingend $\begin{eqnarray} \phi = \frac 1 6 (x^3 + y^3 + z^3) \end{eqnarray}$ . So gibt es unendlich viele möglichen Lösungen -- alle harmonischen Pertubationen deines phi sind genauso Lösungen. Statt $\begin{eqnarray} \implies \end{eqnarray}$ wuerde man wohl in der Regel eher das informellere $\begin{eqnarray} \leadsto \end{eqnarray}$ benutzen, wenn man sich Worte sparen will.)

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